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https://en.wikipedia.org/wiki/Pentagonal_tiling

Die Parkettierung mit Fünfecken (oder Parkettierung mit Pentagonen) ist eine ebene, lückenlose, überlappungsfreie geometrische Parkettierung, bei der die einzelnen identischen 2D-Elemente die Form eines definierten Fünfecks haben. Derzeit sind 15 verschiedene Parkettierungen mit Fünfecken beschrieben.

Parkettierung mit kongruenten, konvexen Fünfecken

Regelmäßiges Fünfeck

Derzeit kennt man 15 verschiedene Arten von kongruenten, konvexen Fünfecken, mit denen man eine Ebene parkettieren kann. Erst 2015 wurde der jüngste Typus entdeckt und dieser speziellen Menge von Polygonen hinzugefügt. Da es derzeit keine Methode gibt, die maximal mögliche Anzahl solcher „parkettierbaren“ Fünfecke zu berechnen (oder abzuschätzen), ist auch nicht bekannt, ob die derzeitig bekannte Menge von 15 vollständig ist.^[1]

Die Parkettierung einer euklidischen Ebene mit regelmäßigen Fünfecken ist unmöglich, da bei einem regelmäßigen Fünfeck der Innenwinkel (α = 108°) kein ganzzahliger Teiler des Vollwinkels (pla = 360°) ist.

Reinhardt (1918)

Die fünf kongruenten, konvexen Fünfecke von K. Reinhardt (1918)
1	2	3	4	5
p2 (2222)	pgg (22×)	p3 (333)	p4 (442)	p6 (632)

B+C=180° A+D+E=360°	c=e B+D=180°	a=b, d=c+e A=C=D=120°	b=c, d=e B=D=90°	a=b, d=e A=60°, D=120°
2er Kachelmuster	4er Kachelmuster	3er Kachelmuster	4er Kachelmuster	6er Kachelmuster
R-I	R-II	R-II	R-III₂	R-III₂

Im Jahr 1918 beschäftigte sich Karl Reinhardt in seiner Dissertation^[2] mit der „Zerlegung einer Ebene in gleicheckige, einer Gattung angehörigen Normalpolygone“, wobei er besonders Fünf- und Sechsecke behandelte. Bei Fünfecken nahm Reinhardt eine umfassende, systematische Einteilung bezüglich der Längenverhältnisse ihrer fünf Seiten vor:

R-I Alle fünf Seiten sind verschieden.
R-II Unter den fünf Seiten sind zwei gleiche; die anderen sind von diesen und untereinander verschieden.
R-III₁ Unter den fünf Seiten sind drei gleiche; die anderen sind von diesen und untereinander verschieden.
R-III₂ Unter den fünf Seiten sind zwei Paare gleicher, untereinander aber verschieder; die letzte ist von diesen verschieden.
R-IV₁ Unter den fünf Seiten sind vier gleiche; die letzte ist von diesen verschieden.
R-IV₂ Unter den fünf Seiten sind drei gleiche und, davon verschieden, noch zwei gleiche.
R-V Alle fünf Seiten sind einander gleich.

Die von Reinhardt beschriebenen Fünfecke sind isohedral (oder auch „parkettierungstransitiv“), was bedeutet, dass die jeweilige Symmetrie der einzelnen Fünfecke dergestalt ist, dass eine lückenlose, überlappungsfreie Parkettierung mit sich wiederholenden 2er, 3er, 4er oder 6er Kachelmustern erreicht werden kann.

Kershner (1968)

Kongruente, konvexe Fünfecke von R. Kershner (1968) und James (1975)
Richard Kershner			James
6	7	8	10
p2 (2222)	pgg (22×)		p2 (2222)

a=d=e, b=c B+D=180°, 2B=E	b=c=d=e B+2E=2C+D=360°	b=c=d=e 2B+C=D+2E=360°	a=b=c+e A=90, B+E=180°, B+2C=360°
4er Kachelmuster	8er Kachelmuster	8er Kachelmuster	8er Kachelmuster
R-IV₂	R-IV₁	R-IV₁	R-II

Kershner ...

James (1975)

James...

BBB

Bagina (2011) showed that there are only eight edge-to-edge convex types, a result obtained independently by Sugimoto (2012).

Bagina (2011) zeigte, dass es nur 8 von Kante zu Kante konvex Typen, ein Ergebnis unabhängig von Sugimoto (2012) erhalten.

Vorlage:Harvtxt found three more types of pentagonal tiles, the tilings of which are never tile transitive; he claimed incorrectly that this was the complete list of pentagons that can tile the plane. In 1975 Richard E. James III found a 9th type, after reading about Kershner's results in Martin Gardner's "Mathematical Games" column in Scientific American magazine of July 1975 (reprinted in Vorlage:Harvtxt); James' tiling is monohedral (it only uses one type of tile) but not tile transitive.

Rice (1976/77)

2-isohedral convex pentagonal tilings (Rice 1976-77)
9	11	12	13

b=c=d=e 2A+C=D+2E=360	2a+c=d=e A=90, 2B+C=360 C+E=180	2a=d=c+e A=90, 2B+C=360 C+E=180	d=2a=2e B=E=90, 2A+D=360
pgg (22×)

Angeregt durch Martin Gardners Mathematical Games-Kolumne in Scientific American im Juli und Dezember 1975, begann Marjorie Rice, eine Autodidaktin in Bezug auf geometrische Mathematik, sich mit Parkettierung mit Fünfecken zu beschäftigen. Sie entwickelte ihre eigene Notation für Fünfecke und fand auf diese Weise ein weitere, bisher unbekannte Fünfeckform, die sie Gardner zuschickte. Gardner leitete die Arbeit von Rice weiter an die Mathematik-Professorin Doris Schattschneider, die mit Rice in Kontakt trat und in den folgenden Jahren Rice' Ergebmisse publizierte.^[3]^[4] In den Jahren 1976/77 entdeckte Rice mit ihrer Methode insgesamt vier neue Pentagon-Typen. Rice entwickelte ihre neuen Fünfecke auch künstlerisch weiter, indem sie Escher-artige Bildelemente auf ihre Fünfecke übertrug.^[5]

Stein/Schattschneider (1985)

3-isohedral convex pentagonal tilings
Stein (1985)	Mann/McLoud/ Von Derau (2015)
14	15

2a=2c=d=e A=90, 2B+C=360, C+E=180	a=c=e, b=2a A=150, B=60 C=135, D=105, E=90
p2 (2222)	pgg (22×)

Vorlage:Harvtxt described a 14th convex pentagon type found by Rolf Stein in 1985. University of Washington Bothell mathematicians Casey Mann, Jennifer McLoud, and David Von Derau discovered a 15th monohedral tiling convex pentagon in 2015 using a computer algorithm (paper pending Vorlage:As of).^[6]

Mann/McLoud/Von Derau (2015)

Parkettierung mit kongruenten, nichtkonvexen Fünfecken

Sphinx-Parkettierung („reptile“)

Sind die kongruenten Fünfecke nichtkonvex, d.h. mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180°, sind weitere Parkettierungen möglich. Ein Beispiel dafür ist die sogenannte Sphinx-Parkettierung, eine aperiodische Parkettierung mit einem nichtkonvexen Fünfeck, das wiederum aus kleineren, identischen Kopien seiner selbst zusammengesetzt ist.^[7]

Dual uniform tilings

There are three different isohedral pentagonal tilings generated as duals of the uniform tilings:

Prismatische Parkettierung
Instance of pentagon type 1 tiling described in 1918^[8]
Cairo tiling^[9]
Instance of pentagon type 4 tiling described in 1918^[8]^[10]
Floret pentagonal tiling
Instance of pentagon type 5 tiling described in 1918 by Karl Reinhardt^[8]

Regular pentagonal tilings in non-Euclidean geometry

A dodecahedron can be considered a regular tiling of 12 pentagons on the surface of a sphere, with Schläfli symbol {5,3}, having 3 pentagons around each vertex.

In the hyperbolic plane, there are tilings of regular pentagons, for instance order-4 pentagonal tiling, with Schläfli symbol {5,4}, having 4 pentagons around each vertex. Higher order regular tilings {5,n} can be constructed on the hyperbolic plane, ending in {5,∞}.

Sphere	Hyperbolic plane
{5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}	...{5,∞}

Irregular hyperbolic plane pentagonal tilings

There are an infinite number of dual uniform tilings in hyperbolic plane with isogonal irregular pentagonal faces. They have face configurations as V3.3.p.3.q.

Order p-q floret pentagonal tiling
7-3	8-3	9-3	...	5-4	6-4	7-4	...	5-5
V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.9	…	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	…	V3.3.5.3.5	…

Einzelnachweise

↑ Eyder Peralta: With Discovery, 3 Scientists Chip Away At An Unsolvable Math Problem, NPR, 14. August 2015; abgerufen am 21. August 2015.
↑ Karl Reinhard: Über die Zerlegung der Ebene in Polygone., Inaugural-Dissertation, zur Erlangung der Doktorwürde der Hohen Naturwissenschaftlichen Fakultät der Königlichen Universität zu Frankfurt a.M., Robert Noske, Borna-Leipzig (1918).
↑ Doris Schattschneider: Tiling the Plane with Congruent Pentagons, Mathematics Magazine, Band 51 (1), S. 29–44 (1978)
↑ Doris Schattschneider: A new pentagon tiler, Mathematics Magazine, Band 58 (5), S. 308 (1985); diese neue Fünfeck-Parkettierung zierte auch die Vorderseite des Mathematics Magazine.
↑ Michele Emmer, Doris Schattschneider: M.C. Escher’s Legacy: A Centennial Celebration. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-28849-7, S. 244–251 (google.com).
↑ Alex Bellos: Attack on the pentagon results in discovery of new mathematical tile In: The Guardian, 11 August 2015
↑ Diese geometrischen Formen, die aus kleineren Formen ihrer selbst zusammengesetzt sind, werden, eingeführt durch Solomon W. Golomb (Replicating Figures in the Plane, The Mathematical Gazette, Band 48, Nr. 366 (1964), S. 403-412), im Englischen rep-tile oder reptile genannt, ein Wortspiel mit dem Begriff repetitive tile ‚sich wiederholende Kachel‘.
↑ ^a ^b ^c Vorlage:Citation (caution: there is at least one obvious mistake within this paper, i.e. γ+δ angle sum needs to equal π, not 2π for the first two tiling types defined on page 77)
↑ In Deutsch etwa Kairo-Pflasterung oder Kairo-Mosaik; diese Art der Pflasterung trägt diesen Namen seit 1971 und kann tatsächlich an mehreren Orten in Kairo gefunden werden, wie auf David Bailey's World of Escher-like Tessellations dokumentiert wird.
↑ Cairo pentagonal tiling generated by a pentagon type 4 tiling query and by a pentagon type 2 tiling query on wolframalpha.com (caution: the wolfram definition of pentagon type 2 tiling does not correspond with type 2 defined by Reinhardt in 1918)

Bibliography Vorlage:Refbegin

Vorlage:Refend

External links

Vorlage:Commons category

Eric W. Weisstein: Pentagon Tiling. In: MathWorld (englisch).
Pentagon Tilings
The 14 Pentagons that Tile the Plane
15 (monohedral) Tilings with a convex pentagonal tile with k-isohedral colorings

Vorlage:Tessellation <nowiki> <(nowiki>

[NPR-1] Eyder Peralta: With Discovery, 3 Scientists Chip Away At An Unsolvable Math Problem, NPR, 14. August 2015; abgerufen am 21. August 2015.

[2] Karl Reinhard: Über die Zerlegung der Ebene in Polygone., Inaugural-Dissertation, zur Erlangung der Doktorwürde der Hohen Naturwissenschaftlichen Fakultät der Königlichen Universität zu Frankfurt a.M., Robert Noske, Borna-Leipzig (1918).

[3] Doris Schattschneider: Tiling the Plane with Congruent Pentagons, Mathematics Magazine, Band 51 (1), S. 29–44 (1978)

[4] Doris Schattschneider: A new pentagon tiler, Mathematics Magazine, Band 58 (5), S. 308 (1985); diese neue Fünfeck-Parkettierung zierte auch die Vorderseite des Mathematics Magazine.

[EmmerSchattschneider2007-5] Michele Emmer, Doris Schattschneider: M.C. Escher’s Legacy: A Centennial Celebration. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-28849-7, S. 244–251 (google.com).

[6] Alex Bellos: Attack on the pentagon results in discovery of new mathematical tile In: The Guardian, 11 August 2015

[7] Diese geometrischen Formen, die aus kleineren Formen ihrer selbst zusammengesetzt sind, werden, eingeführt durch Solomon W. Golomb (Replicating Figures in the Plane, The Mathematical Gazette, Band 48, Nr. 366 (1964), S. 403-412), im Englischen rep-tile oder reptile genannt, ein Wortspiel mit dem Begriff repetitive tile ‚sich wiederholende Kachel‘.

[Reinhardt1918-8] Vorlage:Citation (caution: there is at least one obvious mistake within this paper, i.e. γ+δ angle sum needs to equal π, not 2π for the first two tiling types defined on page 77)

[9] In Deutsch etwa Kairo-Pflasterung oder Kairo-Mosaik; diese Art der Pflasterung trägt diesen Namen seit 1971 und kann tatsächlich an mehreren Orten in Kairo gefunden werden, wie auf David Bailey's World of Escher-like Tessellations dokumentiert wird.

[10] Cairo pentagonal tiling generated by a pentagon type 4 tiling query and by a pentagon type 2 tiling query on wolframalpha.com (caution: the wolfram definition of pentagon type 2 tiling does not correspond with type 2 defined by Reinhardt in 1918)

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