Partielle Integration

Die partielle Integration, auch Produktintegration genannt, ist in der Integralrechnung eine Möglichkeit zur Bestimmung von Stammfunktionen. Sie kann als die Umkehrung der Produktregel der Differentialrechnung aufgefasst werden.

$(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$

$u'\cdot v=(u\cdot v)'-u\cdot v'$

$\int u'\cdot v\,\mathrm {d} x=\int (u\cdot v)'\,\mathrm {d} x-\int u\cdot v'\,\mathrm {d} x$

$\int u'\cdot v\,\mathrm {d} x=u\cdot v-\int u\cdot v'\,\mathrm {d} x$

Folglich gilt:

$\int _{a}^{b}f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm {d} x=f(b)\cdot g(b)-f(a)\cdot g(a)-\int _{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm {d} x$

oder dasselbe, wie man es in vielen Mathematikbüchern finden kann:

$\int _{a}^{b}f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm {d} x=[f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm {d} x$

Diese Regel ist insbesondere dann von Vorteil, wenn durch Ableiten von $f(x)$ eine einfachere Funktion entsteht.

Beispiel:

$\int _{a}^{b}x\cdot \ln \left(x\right)\,\mathrm {d} x$

Setzt man

$f(x)=\ln \left(x\right)\,$ und $g'(x)=x\,$,

so ist

$f'(x)={1 \over x}\,$ und $g(x)={x^{2} \over 2}\,$

und man erhält

$\int _{a}^{b}x\cdot \ln \left(x\right)\,\mathrm {d} x={b^{2} \over 2}\cdot \ln \left(b\right)-{a^{2} \over 2}\cdot \ln \left(a\right)-\int _{a}^{b}{x^{2} \over 2}\cdot {1 \over x}\,\mathrm {d} x$

$={b^{2} \over 2}\cdot \left(\ln \left(b\right)-{1 \over 2}\right)-{a^{2} \over 2}\cdot \left(\ln \left(a\right)-{1 \over 2}\right)\;$

Alternative Schreibweise

Es seien $u(x),v(x)$,

deren Stammfunktionen $U(x),V(x)$,

sowie deren Ableitungen $u'(x),v'(x)$.

$u(x)$ ist die Funktion, die man bevorzugt ableiten möchte, $v(x)$ ist die Funktion, die man bevorzugt integrieren möchte. Dann gilt:

$\int _{a}^{b}u(x)\cdot v(x)\,\mathrm {d} x=u(b)\cdot V(b)-u(a)\cdot V(a)-\int _{a}^{b}u'(x)\cdot V(x)\,\mathrm {d} x$

$\int _{a}^{b}u(x)\cdot v(x)\,\mathrm {d} x=[u(x)\cdot V(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)\cdot V(x)\,\mathrm {d} x$

Methoden der partiellen Integration

Zur effektiven Nutzung der partiellen Integration gibt es verschiedene Standardtricks.

• Manchmal kann man es sich zunutze machen, dass nach mehreren Schritten der partiellen Integration das ursprüngliche Integral (wie ein Phönix aus der Asche) aus den Überresten des Integrationsverfahrens auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens wiederkehrt, welches man dann durch Äquivalenzumformung mit dem ursprünglichen Integral auf der linken Seite zusammenfassen kann.

Beispiel

$\int \sin(x)\cdot \cos(x)\,\mathrm {d} x$

Setzt man

$f(x)=\cos(x)\,$ und $g'(x)=\sin(x)\,$,

so ergibt sich

$f'(x)=-\sin(x)\,$ und $g(x)=-\cos(x)\,$

und man erhält

$\int \sin(x)\cdot \cos(x)\,\mathrm {d} x=[-\cos ^{2}(x)]-\int \sin(x)\cdot \cos(x)\,\mathrm {d} x.$

Addiert man auf beiden Seiten der Gleichung das Ausgangsintegral, ergibt sich:

$2\int \sin(x)\cdot \cos(x)\,\mathrm {d} x=-\cos ^{2}(x)$

Dividiert man beide Seiten durch 2, so erhält man schließlich:

$\int \sin(x)\cdot \cos(x)\,\mathrm {d} x=-{1 \over 2}\cdot \cos ^{2}(x)\,$

• Bei manchen Integralen bietet es sich an, für $g'(x)\,$ einen Term zu wählen, der sich bei der Integration nicht oder nur unwesentlich verändert, beispielsweise die Exponentialfunktion oder die trigonometrischen Funktionen. Dann kann der andere Term "abgeräumt" werden.

Beispiel

$\int e^{x}\cdot (2-x^{2})\,\mathrm {d} x$

Setzt man jedes Mal

$g'(x)=e^{x}\,$ und für $f(x)\,$ den übrigen Term unter dem Integral, so ergibt sich

$\int e^{x}\cdot (2-x^{2})\,\mathrm {d} x$

$=[e^{x}\cdot (2-x^{2})]-\int e^{x}\cdot (-2x)\,\mathrm {d} x$

$=[e^{x}\cdot (2-x^{2})]+[e^{x}\cdot 2x]-\int 2\cdot e^{x}\,\mathrm {d} x$

$=[e^{x}\cdot (2-x^{2})]+[e^{x}\cdot 2x]-[2\cdot e^{x}]\,$

$=[e^{x}\cdot (2-x^{2}+2x-2)]\,$

$=[e^{x}\cdot (2x-x^{2})]\,$

• Steht nur ein Term unter dem Integral, auf dessen Stammfunktion ohne Tabellenwerk nicht ohne weiteres zu schließen ist, kann man gelegentlich durch Einfügen des (unsichtbar vorhandenen) Faktors "1" partiell integrieren.

Beispiel

$\int \ln(x)\,\mathrm {d} x=\int 1\cdot \ln(x)\,\mathrm {d} x=\int g'(x)\cdot \ln(x)\,\mathrm {d} x$

Setzt man

$f(x)=\ln(x)\,$ und $g'(x)=1\,$,

so erhält man

$\int 1\cdot \ln(x)\,\mathrm {d} x=$

$=x\cdot \ln(x)-\int x\cdot {1 \over x}\,\mathrm {d} x=$

$=x\cdot \ln(x)-x$ .