Millikan-Versuch

Beim Millikan-Versuch, handelt es sich um den Versuch, durch den es 1909 dem amerikanischen Physiker Robert Andrews Millikan gelang, die Elementarladung zu bestimmen. 1923 erhielt er für diese Leistung den Nobelpreis.

Um die Elementarladung zu bestimmen, maß Millikan die Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit von geladenen Öltröpfchen in einem elektrischen Feld. Er ermittelte dabei einen Wert für die Elementarladung zwischen e=0,66 · 10^-19Coulomb und e=1,47 · 10^-19 Coulomb.

Der genaue Wert dieser Physikalischen Naturkonstanten beträgt e = 1,602 176462 · 10^-19 . Inzwischen wurde Millikans Versuchsaufbau durch präzisere Methoden zur Bestimmung der Elementarladung ersetzt.

Versuchsaufbau

schematischer Versuchsaufbau

Mit einem Zerstäuber werden feinste Öltröpfchen erzeugt. Diese Öltröpfchen sind so klein (etwa 0,5 µm), dass man sie nicht einmal mit einem Mikroskop sehen kann. Daher verwendet man die Dunkelfeldbeleuchtung. Man beleuchtet die Tröpfchen mit Licht, das in einem bestimmten Winkel (ca. 150° zum Mikroskop) einfällt. Dadurch entstehen Beugungsscheibchen, die man im Mikroskop sehen kann. Zu beachten ist, dass das Mikroskop oben und unten vertauscht. Wenn das Tröpfchen sinkt, sieht man das Beugungsscheibchen nach oben wandern und umgekehrt. Diese Öltröpfchen werden elektrisch geladen, bei Millikans historischem Versuchsaufbau geschah dies durch eine Röntgenröhre. Die Röntgenstrahlung ionisiert dann die Öltröpfchen, tatsächlich genügt aber die Reibung der Öltröpfchen an der Luft, um diese zu ionisieren. Anschließend bringt man diese Tröpfchen in einen Plattenkondensator. Auf jedes Tröpfchen wirkt nun die Erdbeschleunigung, die das Tröpfchen nach unten zieht, und die Auftriebskraft der Öltröpfchen in der Luft, die nach oben gerichtet ist. Werden die Platten des Kondensators horizontal montiert, so kann man durch Anlegen einer geeigneten Spannung an den Kondensator eine elektrische Kraft derart auf die Tröpfchen ausüben, dass diese die anderen beiden Kräfte kompensiert. Somit kann man geladene Teilchen zum Schweben bringen. In diesem Schwebezustand ist die Schwerkraft $F_{\rm {G}}$ gleich der Kraft im elektrischen Feld $F_{\rm {E}}$. Da sich das Öltröpfchen im Schwebezustand nicht bewegt, erfährt es keine Stokessche Reibung. Durch Lösung der Gleichung $F_{\rm {E}}=F_{\rm {G}}$ ist die Ladung eines Öltröpfchens bereits bestimmbar. Dieses Verfahren ist allerdings sehr ungenau, da der Schwebezustand aufgrund der Brownschen Bewegung nur schwer zu bestimmen ist und es auch schwierig ist den Radius eines Öltröpfchens genau zu bestimmen.

Um die Genauigkeit des Versuches zu verbessern ist der Umstand ausnutzbar, dass sich durch das elektrische Feld im Kondensator und die geschwindigkeitsabhängige Reibungskraft ein Kräftegleichgewicht einstellt. Somit stellt sich ebenfalls eine konstante Sinkgeschwindigkeit $v_{\rm {1}}$ ein. Beim Erreichen einer bestimmten Stelle A wird das elektrische Feld bei gleichbleibendem Spannungsbetrag nun umgepolt. Dann steigt das Teilchen mit einer wiederum konstanten Geschwindigkeit $v_{\rm {2}}$. Da sich die Öltröpfchen bewegen wirkt nun eine Stokessche Reibungskraft auf sie.

Die Schwebemethode

Wirksame Kräfte

1. Schwerkraft (einer Kugel im homogenen Schwerefeld der Erde): $F_{\rm {g}}={\frac {4}{3}}\,\pi \cdot r^{3}\cdot \rho \cdot g$

2. Auftriebskraft (einer Kugel): $F_{\rm {A}}={\frac {4}{3}}\,\pi r^{3}\delta g$

3. Kraft im Elektrischen Feld: $F_{\rm {E}}=q\cdot E={\frac {qU}{d}}$

Im Folgenden wird die Auftriebskraft direkt in die Schwerkraft einbezogen, indem ρ = (Dichte des Öls - Dichte der Luft) gesetzt wird.

Im Schwebezustand gilt: $F_{\rm {E}}=F_{\rm {g}}+F_{\rm {A}}$

Berechnung der Ladung

$q={\frac {\rho \cdot {\frac {4}{3}}\cdot r^{3}\cdot \pi \cdot g\cdot d}{U}}$

Dabei bedeuten:

$\pi$ = Kreiszahl

$\rho$ = Dichte des Öls - Dichte der Luft

g = Erdbeschleunigung

U = Am Plattenkondensator angelegte Spannung

d = Plattenabstand des Plattenkondensators

Probleme:

1. Der Schwebezustand kann aufgrund der Brownschen Bewegung nur schwer erkannt werden.

2. Da die Öltröpfchen nur als Beugungsscheibchen zu sehen sind, kann man den Radius nur sehr grob abschätzen.

Bestimmung des Radius durch eine Zusatzberechnung

Man kann das zweite Problem umgehen, indem man den Radius durch eine zusätzliche Berechnung bestimmt. Dazu lässt man das ausgewählte Öltröpfchen bei völlig entladenem Kondensator (kein elektrisches Feld) frei sinken. Dabei gilt aufgrund der Stokesschen Reibung:

$F_{r}=F_{g}$

$6\cdot \pi \cdot \eta \cdot v\cdot r={\frac {4}{3}}\cdot r^{3}\cdot \pi \cdot \rho \cdot g$

$r={\sqrt {\frac {6\cdot \pi \cdot v\cdot \eta \cdot 3}{4\cdot \pi \cdot \rho \cdot g}}}$

$r={\sqrt {\frac {9\cdot v\cdot \eta }{2\cdot \rho \cdot g}}}$

$r=3\cdot {\sqrt {\frac {v\cdot \eta }{2\cdot \rho \cdot g}}}$

$\pi$ = Kreiszahl

$\eta$ = Viskosität der Luft

$\rho$ = Dichte des Öls - Dichte der Luft

$g$ = Erdbeschleunigung

$v$ = Sinkgeschwindigkeit des Öltröpfchens (kein elektrisches Feld, wegen der Stokesschen Reibung konstant)

Die Gleichfeldmethode

Wirksame Kräfte

1. Schwerkraft (einer Kugel im homogenen Schwerefeld der Erde): $F_{\rm {g}}={\frac {4}{3}}\,\pi \cdot r^{3}\cdot \rho \cdot g$

2. Auftriebskraft (einer Kugel): $F_{\rm {A}}={\frac {4}{3}}\,\pi r^{3}\delta g$

3. Stokessche Reibungskraft (einer Kugel): $F_{\rm {R}}=6\cdot \pi \cdot \eta \cdot r\cdot v^{*}$

4. Kraft im Elektrischen Feld: $F_{\rm {E}}=q\cdot E={\frac {qU}{d}}$

Dabei bedeuten:

$\eta$ = Viskosität der Luft

$\rho$ = Dichte des Öls

$\delta$ = Dichte der Luft

$v^{*}$ = Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit des Öltröpfchens

Im Folgenden wird die Auftriebskraft direkt in die Gravitationskraft einbezogen, indem $\rho$ = (Dichte des Öls - Dichte der Luft) gesetzt wird.

Berechnung von Ladung und Radius

$r={\sqrt {\frac {9\cdot \eta \cdot (v_{1}-v_{2})}{4\cdot \rho \cdot g}}}$

Weiteres Vereinfachen ergibt:

$r={\frac {3}{2}}\cdot {\sqrt {{\frac {\eta }{\rho \cdot g}}\cdot (v_{1}-v_{2})}}$

$q={\frac {3\cdot \pi \cdot \eta \cdot r\cdot (v_{1}+v_{2})}{E}}$

$E={\frac {U}{d}}$

Berechnung von q in einer Formel, ohne vorher r und E zu berechnen:

$q={\frac {3\cdot \pi \cdot \eta \cdot {\sqrt {\frac {9\cdot \eta \cdot (v_{1}-v_{2})}{4\cdot \rho \cdot g}}}\cdot (v_{1}+v_{2})}{\frac {U}{d}}}$

Weiteres Vereinfachen ergibt:

$q={\frac {9\cdot d\cdot \pi }{2\cdot U}}\cdot {\sqrt {\frac {\eta ^{3}}{\rho \cdot g}}}\cdot {\sqrt {v_{1}-v_{2}}}\cdot (v_{1}+v_{2})$

Dabei bedeuten:

$\pi$ = Kreiszahl

$\eta$ = Viskosität der Luft

$\rho$ = Dichte des Öls - Dichte der Luft

$g$ = Erdbeschleunigung

$v_{1}$ = Sinkgeschwindigkeit des Öltröpfchens

$v_{2}$ = Steiggeschwindigkeit des Öltröpfchens

$E$ = Feldstärke des durch den Plattenkondensator hervorgerufenen homogenen elektrischen Feldes

$U$ = Am Plattenkondensator angelegte Spannung

$d$ = Plattenabstand des Plattenkondensators

Bestimmung der Elementarladung

Da jedes Öltröpfchen aus einer ganzen Anzahl von Atomen besteht und keine einfache Ionisierung sichergestellt werden kann, ist jede berechnete Ladung $q$ eines Öltröpfchens ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung. Zeichnet man die Ladungsverteilung vieler Versuche in ein Schaubild ergibt sich keine kontinuierliche Verteilung, sondern nur Vielfache der Elementarladung $e=1,602\cdot 10^{-19}C$.

Kritik

Betrachtet man nach der Versuchsreihe in der Auswertung den Radius des kleinsten beobachteten Partikels, ist die verwandte Spannung im Versuchsaufbau häufig nicht ausreichend, um ein Anheben des Partikels mit nur 1 Elementarladung zu beobachten.

Das erklärt, warum man in der Regel nur vielfache Elementarladungen ermitteln konnte.

Weblinks

• Java-Applet zum Millikan-Versuch
• Öltröpfchenversuch von Millikan auf www.leifiphysik.de
• Materialien zum Millikan-Versuch zusammengestellt von T. Unkelbach