Satz von Leibniz

Der Satz von Leibniz ist ein mathematischer Lehrsatz, welcher innerhalb der ebenen Geometrie angesiedelt ist und Gottfried Wilhelm Leibniz zugerechnet wird. Er gibt eine allgemeine Formel an, welche insbesondere erlaubt, in der euklidischen Ebene für einen gegebenen Punkt und ein gegebenes Dreieck die Abstände des Punktes von den Eckpunkten in Beziehung zu setzen zu den Abständen der Eckpunkte vom Schwerpunkt.

Formulierung des Satzes

Der Satz besagt folgendes:

In der reellen Koordinatenebene ${\mathbb {R} }^{2}$ seien vier Punkte $A,B,C,P$ gegeben.

Dabei habe der Punkt $P$ in Bezug auf die Punkte $A,B,C$ die affine Darstellung

$P=\alpha A+\beta B+\gamma C$ mit $\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {R} \;,\;\alpha +\beta +\gamma =1$   .

Es sei $X$ ein weiterer beliebiger Punkt der reellen Koordinatenebene.

Dann gilt die Identität  :

(1) $\alpha \cdot |A-X|^{2}+\beta \cdot |B-X|^{2}+\gamma \cdot |C-X|^{2}-|P-X|^{2}=\alpha \cdot |A-P|^{2}+\beta \cdot |B-P|^{2}+\gamma \cdot |C-P|^{2}$

Ist insbesondere $P$ der Schwerpunkt der Punkte $A,B,C$, ist also $P=S=S_{ABC}$ mit $\alpha =\beta =\gamma ={\frac {1}{3}}$, so gilt sogar

(2) $|A-X|^{2}+|B-X|^{2}+|C-X|^{2}=3\cdot |S-X|^{2}+|A-S|^{2}+|B-S|^{2}+|C-S|^{2}$   .

Hinweis zur Herleitung des Satzes

Der Satz gestattet eine einfache rein rechnerische Herleitung unter Benutzung des reellen Skalarprodukts, indem mehrfach die folgende binomische Identitätsgleichung angewandt wird:

$|X-Y|^{2}=|X|^{2}-2\cdot \langle X\;,\;Y\rangle +|Y|^{2}\;\;(X,Y\in {\mathbb {R} }^{2})$

Anmerkung

In Heinrich Dörries Mathematischen Miniaturen wird ein analoges Resultat zum Schwerpunkt eines Tetraeders formuliert.

Quellen

• Heinrich Dörrie: Mathematische Miniaturen. Zweiter unveränderter Nachdruck der Ausgabe von 1943. Sändig (u.a.), Wiesbaden 1979, ISBN 3-500-21150-X. 
• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie (= Springer-Lehrbuch). 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u.a.) 2000, ISBN 3-540-67643-0.