Dualraum

Der (algebraische) Dualraum V^* eines Vektorraums V über einem Körper K ist die Menge aller linearen Abbildungen von V nach K. Die Elemente von V^* werden auch als Linearformen oder Funktionale bezeichnet.

Der Dualraum V^* ist selbst ein Vektorraum, sofern man ihn mit Vorschriften zur Addition und Multiplikation ausstattet, die man aus dem Raum V überträgt: mit f, g aus V^*, x aus V und $\alpha$ aus K setzt man:

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

und

$(\alpha f)(x)=\alpha f(x).$

In der Sprache der Tensoralgebra heißen die Elemente von V kontravariante, die von V^* kovariante Vektoren. Als Linearformen aufgefasst, heißen die Elemente von V^* auch 1-Formen. In diesem Zusammenhang ist V meistens ein endlichdimensionaler Raum.

Die Wirkung sämtlicher Elemente von V^* auf V kann man als eine einzige Bilinearform 〈,〉 : V^* × V $\rightarrow$ K zusammenfassen:

〈f,x〉 = f(x).

Wählt man in V eine Basis $\{v_{i}|i\in I\}$, dann gibt es für jedes $i\in I$ eine lineare Abbildung $v_{i}^{*}:V\to K$ mit $v_{i}^{*}(v_{i})=1$ und $v_{i}^{*}(v_{j})=0$ für $i\neq j$. Anders ausgedrückt $v_{i}^{*}(v_{j})=\delta _{ij}$. Die Menge $\{v_{i}^{*}|i\in I\}$ all dieser Abbildungen ist linear unabhängig, und ist genau dann eine Basis von $V^{*}$, wenn V endliche Dimension hat (für unendlichdimensionales V betrachte die lineare Abbildung $f:V\to K,f(v_{i})=1$, die in $V^{*}$ liegt aber nicht von den $v_{i}^{*}$ erzeugt wird). In diesem Fall nennt man sie die zu $\{v_{i}|i\in I\}$ duale Basis.

Topologischer Dualraum

Falls der zugrundeliegende Vektorraum V ein Banachraum ist, kann man zusätzlich zum algebraischen auch den topologischen Dualraum betrachten. Dieser ist die Menge aller stetigen linearen Funktionale. Die Unterscheidung zwischen algebraischen und topologischen Dualraum ist nur dann wichtig, wenn V ein unendlichdimensionaler Raum ist. In einem endlichdimensionalen Raum sind alle linearen Funktionale automatisch stetig und somit sind der algebraische und der topologische Dualraum identisch. Wenn im Zusammenhang mit Banachräumen von einem Dualraum die Rede ist, ist meistens der toplogische Dualraum gemeint. Das Studium der Dualräume von Banachräumen ist das Hauptgebiet der Funktionalanalysis.

Der topologische Dualraum ist wieder ein Banachraum mit der Norm $\|f\|=sup_{\|x\|\leq 1}|\langle f,x\rangle |.$

Interessant ist in diesem Zusammenhang, dass selbst wenn der Grundvektorraum V nur ein normierter Raum ist (also im Allgemeinen nicht vollständig), so ist der Dualraum mit der obigen Norm trotzdem vollständig, also ein Banachraum.

Besonders einfach ist der (topologische) Dualraum, falls V ein Hilbertraum ist. Nach einem Satz, den M. Fréchet 1907 für separable Hilberträume und F. Riesz 1934 für allgemeine bewiesen, sind ein Hilbertraum und sein Dualraum isometrisch isomorph zueinander. Die Vertauschbarkeit von Raum und Dualraum kommt besonders deutlich in der Bra-Ket-Schreibweise von Dirac zum Ausdruck.

Da jeder endlich-dimensionale Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen isomorph zu einem Hilbertraum ist, sind endlich-dimensionale Räume stets selbstdual.

Bidual

Da der Dualraum V^* eines Banachraums wieder ein Banachraum ist, kann man den Dualraum des Dualraums, den sogenannten Bidualraum V^** betrachten. Hier ist interessant, dass es eine kanonische Einbettung von V in V^** gibt, die durch $v\mapsto ((f:V\rightarrow K)\mapsto f(v))$ gegeben ist. (Das heißt: jedes Element des ursprünglichen Raums V ist auf natürliche Weise auch ein Element des Bidualraums). Wenn sich jedes Element des Bidualraums durch ein Element aus V darstellen lässt, genauer wenn die kanonische Einbettung ein Isomorphismus ist, dann heißt der Banachraum reflexiv. Reflexive Räume sind einfacher zu handhaben als nicht reflexive. Sie sind in gewisser Weise den Hilberträumen am ähnlichsten. Ein Beispiel für einen nicht-reflexiven Raum ist der Raum der stetigen Funktionen mit der Maximumsnorm.