Quaternion

Vorlage:Mathematische Symbole Die Quaternionen sind eine Verallgemeinerung der komplexen Zahlen. Entdeckt wurden sie 1843 von Sir William Rowan Hamilton und werden oft auch Hamilton-Zahlen genannt. Das Mengensymbol ist $\mathbb {H}$.

Quaternionen sind eine vierdimensionale Divisionsalgebra über dem Körper der reellen Zahlen mit einer nicht kommutativen Multiplikation.

Quaternionen werden formal als x₀ + x₁i + x₂j + x₃k ausgedrückt. Quaternionen lassen sich also als Linearkombinationen reeller Koeffizienten mit der Basis <1,i,j,k> darstellen.

Überträgt man die aus den Zahlenkörpern $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$ bekannten Operationen + (Addition) und * (Multiplikation) auf $\mathbb {H}$, erhält man einen Schiefkörper.

Operationen über zwei Quaternionen

Addition	Multiplikation
(x0 + x1i + x2j + x3k) + (y0 + y1i + y2j + y3k) = (x0 + y0) + (x1 + y1)i + (x2 + y2)j + (x3 + y3)k	(x0 + x1i + x2j + x3k) * (y0 + y1i + y2j + y3k) = (x0y0 - x1y1 - x2y2 - x3y3) + (x0y1 + x1y0 + x2y3 - x3y2)i + (x0y2 - x1y3 + x2y0 + x3y1)j + (x0y3 + x1y2 - x2y1 + x3y0)k
ist assoziativ und kommutativ	ist assoziativ aber nicht kommutativ

Dabei gilt:

$i\ j=k\qquad j\ k=i\qquad k\ i=j$

$j\ i=-k\qquad k\ j=-i\qquad i\ k=-j$

Hieraus folgt dann etwa:

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1\qquad ijk=-1$

Weiter gilt:

$\forall (x,y,z)\in {\mathbb {R}}^{3}:\quad \exp(ix+jy+kz)=\cos \left|ix+jy+kz\right|+{\frac {ix+jy+kz}{\left|ix+jy+kz\right|}}\cdot \sin \left|ix+jy+kz\right|$

wobei

$\left|ix+jy+kz\right|={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

ist. Diese Gleichung ist für $y=z=0$ ein Spezialfall der Euler-Relation:

$\exp(ix)=\cos \left|x\right|+{\frac {i\cdot x}{\left|x\right|}}\cdot \sin \left|x\right|=\cos(x)+i\cdot \sin(x)$

Quaternionenprodukt

Die besondere Stellung der Komponente x₀ ist offensichtlich, man bezeichnet sie analog zu den Komplexen Zahlen als Realteil s, während die Komponenten x₁, x₂ und x₃ Imaginärteil v genannt werden. Bei der Multiplikation von Quaternionen a und b deren Realteil 0 ist, entsteht ein Quaternion deren Skalarteil s = − <a , b> bis auf das Vorzeichen dem Skalarprodukt entspricht, während der Vektorteil v = a x b, das Vektorprodukt von a und b ist.

Die Verallgemeinerung der Quaternionen auf die Dimension 8 werden Cayley-Zahlen oder Oktaven genannt.

Praktische Anwendungen

Arthur Cayley entdeckte, dass sich mit Quaternionen Drehungen im Raum beschreiben lassen. Genutzt wird dies heutzutage im Bereich der interaktiven Computergrafik, insbesondere bei Computerspielen. Bei Verwendung von Quaternionen an Stelle von Rotationsmatrizen werden etwas weniger Rechenoperationen benötigt. Insbesondere, wenn viele Rotationen miteinander kombiniert (multipliziert) werden, steigt die Verarbeitungsgeschwindigkeit. Des weiteren werden Quaternionen zur Programmierung von Industrierobotern genutzt.

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