Adjungierte Matrix

In der linearen Algebra ist die zu einer reellen oder komplexen quadratischen Matrix $A$ adjungierte Matrix $A^{*}$ eine Matrix, die eine bestimmte Vertauschungsbedingung für Skalarprodukte erfüllt.

Eine andere Schreibweise für die adjungierte Matrix ist $\operatorname {adj} (A)$. Diese ist jedoch mit Vorsicht zu genießen, da sie auch für die, als Adjunkte bezeichnete, komplementäre Matrix verwendet wird.

Definition

Sei $A$ eine $n\times n$-Matrix über dem Körper ${\mathbb {K}}$ der reellen oder komplexen Zahlen, d.h. ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ oder ${\mathbb {K}}={\mathbb {C}}$.

Die zu $A$ adjungierte Matrix $A^{*}$ ist durch folgende Eigenschaft definiert:

$\langle Av,w\rangle =\langle v,A^{*}\,w\rangle$ für alle $v,w\in {\mathbb {K} }^{n}$.

Dabei bezeichnet $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ das kanonische Skalarprodukt des ${\mathbb {K}}^{n}$.

Man kann zeigen, daß die Adjungierte

• im reellen Fall ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ genau die transponierte Matrix $A^{T}$ von $A$ ist;
• im komplexen Fall ${\mathbb {K}}={\mathbb {C}}$ genau die komplex konjugierte der Transponierten, also ${\overline {A^{T}}}$ ist.

Gilt $A^{*}=A$, so heißt $A$ selbstadjungiert. Im komplexen Fall heißt die Matrix dann auch hermitesch.

Verallgemeinerung

Allgemeiner definiert man in der Funktionalanalysis für einen Endomorphismus $F:V\rightarrow V$ eines beliebigen euklidischen oder unitären Vektorraums $V$ einen adjungierten Endomorphismus $\operatorname {adj} (F):V\rightarrow V$ durch diese Eigenschaft:

$\langle \operatorname {F} (v),w\rangle =\langle v,\operatorname {adj} (F)(w)\rangle$ für alle $v,w\in \ V$

Man kann dann einen Zusammenhang zum dualen Operator $F^{*}:V^{*}\rightarrow V^{*}$ herstellen.

Eigenschaften

• $(A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}$ für zwei beliebige Matrizen $A$ und $B$ mit übereinstimmender Zeilen- und Spaltenanzahl.
• $(rA)^{*}=r^{*}A^{*}$ für jede komplexe Zahl $r$ und jede Matrix $A$. $r^{*}$ steht hier für das komplex konjugierte der Zahl $r$.
• $(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$ für eine beliebige $(m,n)$-Matrix $A$ und eine beliebige $(n,p)$-Matrix $B$.
• $(A^{*})^{*}=A$ für jede beliebige Matrix $A$.
• $\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle$ für eine beliebige $(m,n)$-Matrix $A$, einen beliebigen Vektor $x$ aus $\mathbb {C} ^{n}$ und einen beliebigen Vektor $y$ aus $\mathbb {C} ^{m}$. Dabei bezeichnet $\langle .,.\rangle$ das gewöhnliche euklidische Skalarprodukt (innere Produkt) in $\mathbb {C} ^{m}$ beziehungsweise $\mathbb {C} ^{n}$.

Verallgemeinerungen

In der Theorie der Hilberträume wird die adjungierte Matrix zum adjungierten Operator verallgemeinert.