Transponierte Matrix

Die transponierte Matrix, gespiegelte Matrix oder gestürzte Matrix ist in der Mathematik diejenige Matrix, die durch Vertauschen der Rollen von Zeilen und Spalten einer gegebenen Matrix entsteht. Die erste Zeile der transponierten Matrix entspricht der ersten Spalte der Ausgangsmatrix, die zweite Zeile der transponierten Matrix der zweiten Spalte der Ausgangsmatrix und so weiter. Anschaulich entsteht die transponierte Matrix durch Spiegelung der Ausgangsmatrix an ihrer Hauptdiagonale. Die Umwandlung einer Matrix in ihre transponierte Matrix wird Transponierung, Transposition oder Stürzen der Matrix genannt.

Animation zur Transponierung der Matrix A

Die Transpositionsabbildung, die einer Matrix ihre Transponierte zuordnet, ist stets linear, bijektiv und selbstinvers. Bezüglich der Matrizenaddition stellt sie einen Isomorphismus dar, bezüglich der Matrizenmultiplikation hingegen einen Antiisomorphismus, das heißt, die Reihenfolge bei der Multiplikation von Matrizen kehrt sich nach Transponierung um. Viele Kenngrößen von Matrizen, wie Spur, Rang, Determinante und Eigenwerte, bleiben unter Transponierung erhalten.

In der linearen Algebra wird die transponierte Matrix unter anderem zur Charakterisierung spezieller Klassen von Matrizen eingesetzt. Die transponierte Matrix ist auch die Abbildungsmatrix der adjungierten Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen reellen Skalarprodukträumen bezüglich der jeweils gewählten Orthonormalbasen.

Definition

Ist $R$ ein Ring (in der Praxis meist der Körper der reellen oder komplexen Zahlen), dann ist die zu einer gegebenen Matrix

$A=(a_{ij})_{ij}={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{pmatrix}}\in R^{m\times n}$

transponierte Matrix definiert als

$A^{T}=(a_{ij})_{ji}={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{m1}\\\vdots &&\vdots \\a_{1n}&\dots &a_{mn}\end{pmatrix}}\in R^{n\times m}$.

Die transponierte Matrix $A^{T}$ ergibt sich also dadurch, dass die Rollen von Zeilen und Spalten der Ausgangsmatrix $A$ vertauscht werden. Anschaulich entsteht die transponierte Matrix durch Spiegelung der Ausgangsmatrix an ihrer Hauptdiagonale $a_{11},a_{22},\dots ,a_{kk}$ mit $k=\min\{m,n\}$. Gelegentlich wird die transponierte Matrix auch durch $A^{\top }$, $A^{t}$ oder $A'$ notiert.

Beispiele

Durch Transponierung einer $(1\times 3)$-Matrix (eines Zeilenvektors) entsteht eine $(3\times 1)$-Matrix (ein Spaltenvektor) und umgekehrt:

${\begin{pmatrix}2&4&6\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}1&3&5\end{pmatrix}}$

Eine quadratische Matrix behält durch Transponierung ihre Größe, jedoch werden alle Einträge an der Hauptdiagonale gespiegelt:

${\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}2&4\\3&5\end{pmatrix}},\ quad{\begin{pmatrix}9&8&7\\6&5&4\\3&2&1\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}9&6&3\\8&5&2\\7&4&1\end{pmatrix}}$

Durch Transponierung einer $(3\times 2)$-Matrix entsteht eine $(2\times 3)$-Matrix, bei der die erste Zeile der ersten Spalte der Ausgangsmatrix und die zweite Zeile der zweiten Spalte der Ausgangsmatrix entspricht:

${\begin{pmatrix}1&4\\8&-2\\-3&5\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{pmatrix}}$

Eigenschaften

Summe

Für die Transponierte der Summe zweier Matrizen $A,B\in R^{m\times n}$ gleicher Größe gilt

$(A+B)^{T}=(a_{ij}+b_{ij})_{ji}=(a_{ij})_{ji}+(b_{ij})_{ji}=A^{T}+B^{T}$.

Allgemein ergibt sich die Summe von $n$ Matrizen $A_{1},\ldots ,A_{n}\in R^{m\times n}$ gleicher Größe zu

$(A_{1}+A_{2}+\ldots +A_{n})^{T}=A_{1}^{T}+A_{2}^{T}+\ldots +A_{n}^{T}$.

Die Transponierte einer Summe von Matrizen ist demnach gleich der Summe der Transponierten.

Skalarmultiplikation

Für die Transponierte des Produkts einer Matrix $A\in R^{m\times n}$ mit einem Skalar $c\in R$ gilt

$(c\cdot A)^{T}=(c\cdot a_{ij})_{ji}=c\cdot (a_{ij})_{ji}=c\cdot A^{T}$.

Die Transponierte des Produkts einer Matrix mit einem Skalar ist also gleich dem Produkt des Skalars mit der transponierten Matrix.

Transposition

Für die Transponierte der Transponierten einer Matrix $A\in R^{m\times n}$ gilt

$\left(A^{T}\right)^{T}=(a_{ij})_{ij}=A$.

Durch zweifache Transposition ergibt sich demnach stets wieder die Ausgangsmatrix.

Produkt

Für die Transponierte des Produkts einer Matrix $A\in R^{m\times n}$ mit einer Matrix $B\in R^{n\times l}$ mit Einträgen aus einem kommutativen Ring $R$ gilt

$(A\cdot B)^{T}=\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\cdot b_{jk}\right)_{ki}=\left(\sum _{j=1}^{n}b_{jk}\cdot a_{ij}\right)_{ki}=B^{T}\cdot A^{T}$.

Allgemein ergibt sich für das Produkt von $n$ Matrizen $A_{1},\ldots ,A_{n}$ passender Größe

$(A_{1}\cdot A_{2}\cdot \ldots \cdot A_{n})^{T}=A_{n}^{T}\cdot \ldots \cdot A_{2}^{T}\cdot A_{1}^{T}$.

Die Transponierte eines Produkts von Matrizen ist demnach gleich dem Produkt der Transponierten, jedoch in umgekehrter Reihenfolge.

Inverse

Für die Transponierte der Inversen einer regulären Matrix $A\in R^{n\times n}$ mit Einträgen aus einem kommutativen unitären Ring $R$ gilt

$\left(A^{-1}\right)^{T}=\left(A^{T}\right)^{-1}$,

denn mit der Einheitsmatrix $I\in R^{n\times n}$ ergibt sich

$A^{T}\cdot \left(A^{-1}\right)^{T}=\left(A^{-1}\cdot A\right)^{T}=I^{T}=I$

und daher ist $(A^{-1})^{T}$ die inverse Matrix zu $A^{T}$. Die Transponierte der inversen Matrix ist demnach gleich der Inversen der transponierten Matrix.

Blockmatrizen

Die Transponierte einer Blockmatrix mit Blockhöhen $m_{1},\ldots ,m_{r}$ und Blockbreiten $n_{1},\ldots ,n_{s}$ ist durch

${\begin{pmatrix}M_{11}&\cdots &M_{1s}\\\vdots &&\vdots \\M_{r1}&\cdots &M_{rs}\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}M_{11}^{T}&\cdots &M_{r1}^{T}\\\vdots &&\vdots \\M_{1s}^{T}&\cdots &M_{rs}^{T}\end{pmatrix}}$

gegeben. Sie entsteht durch Spiegelung aller Blöcke an der Hauptdiagonale und nachfolgende Transposition jedes Blocks.

Transpositionsabbildung

Die Abbildung

$R^{m\times n}\to R^{n\times m},\quad A\mapsto A^{T}$,

die einer Matrix ihre Transponierte zuordnet, wird Transpositionsabbildung genannt. Aufgrund der vorstehenden Gesetzmäßigkeiten besitzt die Transpositionsabbildung die folgenden Eigenschaften:

• Die Transpositionsabbildung ist stets linear, bijektiv und selbstinvers.
• Zwischen den Matrizenräumen $R^{m\times n}$ und $R^{n\times m}$ stellt die Transpositionsabbildung einen Isomorphismus dar.
• In der allgemeinen linearen Gruppe $\operatorname {GL} (n,R)$ und im Matrizenring $R^{n\times n}$ stellt die Transpositionsabbildung (für $m=n$) einen Antiautomorphismus dar.

Kenngrößen

Im Folgenden wird angenommen, dass die Einträge der Matrix aus einem Körper $K$ stammen.

Spur

Für eine Matrix $A\in K^{m\times n}$ ist die Spur (die Summe der Hauptdiagonalelemente) der transponierten Matrix gleich der Spur der Ausgangsmatrix, das heißt

$\operatorname {spur} (A^{T})=\operatorname {spur} (A)$,

denn die Diagonalelemente der transponierten Matrix stimmen mit denen der Ausgangsmatrix überein.

Rang

Für eine Matrix $A\in K^{m\times n}$ ist der Rang der transponierten Matrix gleich dem der Ausgangsmatrix, das heißt

$\operatorname {rang} (A^{T})=\operatorname {rang} (A)$.

Das Bild der Abbildung $x\mapsto Ax$ wird dabei von den Spaltenvektoren von $A$ aufgespannt, während das Bild der Abbildung $x\mapsto A^{T}x$ von den Zeilenvektoren von $A$ aufgespannt wird. Für eine Matrix mit Einträgen aus einem Körper stimmen die Dimensionen dieser beiden Bilder überein. Für Matrizen mit Einträgen aus einem beliebigen Ring muss dies jedoch nicht der Fall sein.

Determinante

Für eine quadratische Matrix $A\in K^{n\times n}$ ist die Determinante der transponierten Matrix gleich der Determinante der Ausgangsmatrix, das heißt

$\det(A^{T})=\det(A)$.

Dies folgt aus der Leibniz-Formel für Determinanten über

$\det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\operatorname {sgn} (\sigma )a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}\right)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\operatorname {sgn} (\sigma )a_{\sigma (1),1}\cdots a_{\sigma (n),n}\right)=\det(A^{T})$,

wobei die Summe über alle Permutationen der symmetrischen Gruppe $S_{n}$ läuft und $\operatorname {sgn} (\sigma )$ das Vorzeichen der Permutation $\sigma$ bezeichnet.

Spektrum

Für eine quadratische Matrix $A\in K^{n\times n}$ ist aufgrund der Invarianz der Determinante unter Transposition auch das charakteristische Polynom der transponierten Matrix mit dem der Ausgangsmatrix identisch, denn

$\chi _{A^{T}}(\lambda )=\det(\lambda I-A^{T})=\det((\lambda I-A^{T})^{T})=\det(\lambda I-A)=\chi _{A}(\lambda )$.

Daher stimmen auch die Eigenwerte der transponierten Matrix mit denen der Ausgangsmatrix überein, das heißt, für die jeweiligen Spektren gilt

$\sigma (A^{T})=\sigma (A)$.

Die Eigenvektoren und Eigenräume müssen jedoch nicht übereinstimmen.

Ähnlichkeit

Jede quadratische Matrix $A\in K^{n\times n}$ ist ähnlich zu ihrer Transponierten, das heißt, es gibt eine reguläre Matrix $S\in K^{n\times n}$, sodass

$A^{T}=S^{-1}AS$

gilt. Die Matrix $S$ kann dabei sogar symmetrisch gewählt werden. Daraus folgt unter anderem, dass eine quadratische Matrix und ihre Transponierte das gleiche Minimalpolynom und, sofern ihr charakteristisches Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt, auch die gleiche jordansche Normalform haben.

Verwendung

Spezielle Matrizen

Die transponierte Matrix wird in der linearen Algebra in einer Reihe von Definitionen verwendet:

• Eine symmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix, die gleich ihrer Transponierten ist, das heißt $A^{T}=A$.
• Eine schiefsymmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix, die gleich dem Negativen ihrer Transponierten ist, das heißt $A^{T}=-A$.
• Eine hermitesche Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix, deren Transponierte gleich ihrer Konjugierten ist, das heißt $A^{T}={\bar {A}}$.
• Eine schiefhermitesche Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix, deren Transponierte gleich dem Negativen ihrer Konjugierten ist, das heißt $A^{T}=-{\bar {A}}$.
• Eine orthogonale Matrix ist eine quadratische Matrix, deren Transponierte gleich ihrer Inversen ist, das heißt $A^{T}=A^{-1}$.
• Zwei quadratische Matrizen $A$ und $B$ sind zueinander kongruent, wenn es eine reguläre Matrix $S$ gibt, sodass $A=S^{T}BS$ gilt.
• Die Gram-Matrix einer reellen Matrix $A$ ist die Matrix $A^{T}A$.
• Das dyadische Produkt zweier Vektoren $x$ und $y$ ist die Matrix $xy^{T}$.
• Das Standardskalarprodukt zweier reeller Vektoren $x$ und $y$ ist $x^{T}y$.
• Die euklidische Norm eines reellen Vektors $x$ ist ${\sqrt {x^{T}x}}$.

Adjungierte Abbildung

Sind $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Skalarprodukträume, dann wird die zu einer gegebenen linearen Abbildung $f\colon V\to W$ zugehörige adjungierte Abbildung $f^{\ast }\colon W\to V$ durch die Beziehung

$\langle f(v),w\rangle =\langle v,f^{\ast }(w)\rangle$

für alle $v\in V$ und $w\in W$ charakterisiert. Ist nun $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ eine Orthonormalbasis von $V$, $\{w_{1},\ldots ,w_{m}\}$ eine Orthonormalbasis von $W$ und $A_{f}\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ die Abbildungsmatrix von $f$ bezüglich dieser Basen, dann ist die Abbildungsmatrix von $f^{\ast }$ bezüglich dieser Basen gerade

$A_{f^{\ast }}=A_{f}^{T}$.

Bei reellen Matrizen ist demnach die zu einer gegebenen Matrix adjungierte Matrix gerade die transponierte Matrix, das heißt $A^{\ast }=A^{T}$. In der Funktionalanalysis wird dieses Konzept auf adjungierte Operatoren zwischen unendlichdimensionalen Hilberträumen verallgemeinert.

Siehe auch

• Transposition (Kryptographie), ein Verschlüsselungsverfahren, bei dem Zeichen ihre Plätze vertauschen
• Vertauschung, eine Permutation, bei der zwei Elemente die Plätze tauschen

Literatur

• Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer, 2006, ISBN 3-540-29884-3. 
• Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. Springer, 2008, ISBN 3-8348-9574-1. 
• Roger Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1990, ISBN 978-0-521-38632-6. 
• Eberhard Oeljeklaus, Reinhold Remmert: Lineare Algebra I. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-65851-8. 

Weblinks

• O. A. Ivanova: Transposed matrix. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 
• Eric W. Weisstein: Transpose. In: MathWorld (englisch).
• mathcam: Transpose. In: PlanetMath. (englisch)