Approximationsalgorithmus

Ein Approximationsalgorithmus ist in der Informatik ein Algorithmus, der ein Optimierungsproblem näherungsweise löst.

Viele Optimierungsprobleme lassen sich mit exakten Algorithmen vermutlich nicht effizient lösen. Für solche Probleme kann es sinnvoll sein, wenigstens eine Lösung zu finden, die einer optimalen Lösung möglichst nahe kommt.

Güte von Approximationsalgorithmen

Es sei $S(x)$ der zu einer Eingabe $x$ gehörige Lösungsraum. Zu jeder möglichen Lösung $y\in S(x)$ sei $v(y)$ die Güte. Die Güte einer optimalen Lösung sei $v^{*}$ . Ein Approximationsalgorithmus sucht nun nach einer Lösung $y\in S(x)$ , so dass $v(y)$ möglichst nah an $v^{*}$ liegt.

Die Güte eines Approximationsverfahrens (sogenannte Approximationsgüte) wird durch die Performanz $r$ des Algorithmus bestimmt. Sie ist definiert durch das Verhältnis von approximierter Lösung zur exakten Lösung, gemessen in einer angemessenen Norm. Die Performanz einer Lösung $y\in S(x)$ wird bestimmt durch:

$r=\min \left\{{\frac {v(y)}{v^{*}}},{\frac {v^{*}}{v(y)}}\right\}$

Diese Definition der Performanz kann sowohl auf Minimierungs- wie auch auf Maximierungsprobleme angewandt werden. Es gilt immer $r\leq 1$ .

Klassen von Approximationsalgorithmen

Optimierungsprobleme werden in der Theoretischen Informatik in verschiedene Approximationsklassen unterschieden, je nachdem welcher Grad an Approximation möglich ist:

APX

Die Abkürzung APX steht für approximable und deutet an, dass das Optimierungsproblem, zumindest bis zu einem gewissen Grad, effizient approximierbar ist. Ein Problem liegt in der Klasse APX, wenn eine Zahl $\delta \in (0,1)$ und ein polynomieller Algorithmus existiert, der bei jeder zulässigen Eingabe $x$ eine Lösung mit einer Performanz $r\geq 1-\delta$ liefert.

PTAS/PAS

PTAS oder PAS steht für polynomial time approximation scheme. Anders als bei der Klasse APX wird hier für jedes $\delta \in (0,1)$ gefordert, dass ein polynomialer Algorithmus existiert, der bei jeder zulässigen Eingabe eine Lösung mit einer Performanz $r\geq 1-\delta$ liefert. Der Algorithmus muss also nicht nur für eine bestimmte Performanz, sondern für jede Performanz effizient sein, der Existenzquantor wird durch einen Allquantor ersetzt.

FPTAS

FPTAS steht für fully polynomial time approximation scheme. Hier wird gefordert, dass sich der Algorithmus nicht nur polynomial zur Eingabe, sondern auch zur Güte der Approximation verhält. Dass es also zu jeder Eingabe $x$ und jedem $k\in \mathbb {N}$ eine Lösung mit der Performanz $r\geq 1-1/k$ gibt, wobei der Algorithmus polynomial in $x$ und $k$ ist.

Es gilt: $FPTAS\subseteq PTAS\subseteq APX$

Unter der Annahme $P\neq NP$ sind die obigen Inklusionsabbildungen echte Inklusionen. Das heißt es gibt zum Beispiel mindestens ein Optimierungsproblem, das in der Klasse PTAS liegt, aber nicht in der Klasse FPTAS.

Fasst man die Inklusionskette etwas weiter:

{Optimierungsprobleme in P}

\subseteq FPTAS\subseteq PTAS\subseteq APX\subseteq

{Optimierungsprobleme in NP}

hieße das auch, dass es Optimierungsprobleme gibt, die nicht einmal in APX liegen. Dies lässt sich unter der Annahme $P\subsetneq NP$ zum Beispiel für das Cliquenproblem zeigen.

Literatur

Rolf Wanka: Approximationsalgorithmen - Eine Einführung, Teubner, Wiesbaden, 2006, ISBN 3-519-00444-5
Klaus Jansen, Marian Margraf: Approximative Algorithmen und Nichtapproximierbarkeit, de Gruyter, Berlin, New York, 2008, ISBN 978-3-11-020316-5

Siehe auch