Ornstein-Uhlenbeck-Prozess

Der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess (oft abgekürzt: OU-Prozess) ist ein spezieller stochastischer Prozess, welcher nach den beiden niederländischen Mathematikern George Uhlenbeck (1900-1988) und Leonard Ornstein (1880-1941) benannt ist. Er ist neben der geometrischen Brownschen Bewegung einer der einfachsten über eine stochastische Differentialgleichung definierte Prozess.

Drei Pfade von unterschiedlichen Ornstein-Uhlenbeck Prozessen mit σ=0.1, θ=1, μ=1:
navy: Startwert a=0 (f.s.)
rot: Startwert a=2 (f.s.)
olivgrün: Startwert so normalverteilt, dass der Porzess stationär ist

Definition und Parameter

Seien $a,\mu \in \mathbb {R}$ und $\theta ,\sigma >0$ Konstanten. Ein stochastischer Prozess $(X_{t}),\;t\geq 0$ heißt Ornstein-Uhlenbeck-Prozess mit Anfangswert $a$, Gleichgewichtsniveau $\mu$, Steifigkeit $\theta$ und Diffusion $\sigma$, wenn er das folgende stochastische Anfangswertproblem löst:

$dX_{t}=\theta (\mu -X_{t})dt+\sigma dW_{t},\;\;X_{0}=a$,

wobei $(W_{t})$ ein Standard-Wiener-Prozess ist.

Die Parameter lassen sich einfach interpretieren und somit bei der Modellierung einer stochastischen Zeitreihe einfach als "Stellschrauben" verwenden:

• $\mu$ ist das gleichgewichtige Niveau des Prozesses (engl: mean reversion level). liegt $X_{t}$ über diesem Wert, so ist der Driftterm $\theta (\mu -X_{t})$ negativ und der Drift wird den Prozess tendentiell nach unten "ziehen". Ist X kleiner, so ist der Drift positiv und der Prozess wird in Erwartung nach oben gezogen.

• $\theta$ (engl: mean reversion speed) gibt an, wie stark die oben beschriebene "Anziehungskraft" von $\mu$ ist. Für kleine Werte von $\theta$ verschwindet dieser Effekt, für große Werte wird sich X sehr steif um $\mu$entwickeln.

• $\sigma$ gibt an, wie stark der Einfluss von $W_{t}$ (also des Zufalls) auf den Prozess ist. Für $\sigma =0$ wird X einfach exponentiell gegen $\mu$ konvergieren, bei starker Diffusion wird diese Konvergenz zufällig gestört.

Der Unterschied zum ebenfalls mit dem mean-reversion-Mechanismus ausgestatteten Wurzel-Diffusionsprozess oder der geometrischen Brownschen Bewegung besteht im Wesentlichen darin, dass beim OU-Prozess der diffusionsterm $\sigma dW_{t}$ konstant, also unabhängig vo X ist. Dies führt dazu, dass der OU-Prozess im Gegensatz zu den anderen beiden auch negative Werte annehmen kann.

Lösung der Differentialgleichung

Im Gegensatz zum Wurzel-Diffusionsprozess ist die obige Differentialgleichung explizit lösbar, wenn auch nicht (wie bei der geometrischen Brownschen Bewegung) integralfrei darstellbar: wendet man auf die zweidimensionale Funktion $f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\;(X_{t},t)\mapsto X_{t}e^{\theta t}$ einerseits das Lemma von Ito, andererseits die gewöhnliche Kettenregel der Differentialrechnung an, so erhält man

$df(X_{t},t)=\theta X_{t}e^{\theta t}\,dt+e^{\theta t}dX_{t}=e^{\theta t}\theta \mu \,dt+\sigma e^{\theta t}dW_{t}.\,$.

Die obige Identität von 0 bis t aufintegriert (wobei $X_{0}=a$) ergibt die Lösung

$X_{t}=ae^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta (s-t)}dW_{s}$.

Eigenschaften

• Der obigen Lösung sieht man an, dass es sich beim Ornstein-Uhlenbeck-Prozess um einen Gauß-Prozess handelt (der Integrand ist deterministisch, also ist der Wert des Ito-Integrals stets normalverteilt).

• Als Gauß-Prozess ist der OU-Prozess durch seine Erwartungswert- und Kovarianzfunktion in seiner Verteilung eindeutig bestimmt. Diese ergeben sich als

$E(X_{t})=ae^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})\,$ und

$\operatorname {Cov} (X_{s},X_{t})={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\,(1-\exp {(-\theta |s-t|)}).\,$.

Bei deterministischem Anfangswert a ist also $X_{t}\sim {\mathcal {N}}(ae^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t}),{\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}(1-\exp {(-2\theta t)}))$ verteilt.

• Da sowohl Erwartungswert als auch Varianz konvergieren, existiert eine stationäre Verteilung für den Markov-Prozess X: es handelt sich dabei um eine Normalverteilung mit Erwartungswert $\mu$ und Varianz ${\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}$. Im Gegensatz zum Wiener-Prozess ist der Ohrenstein-Uhlenbeck-Prozess also (schwach) stationär. Man sagt dann, dass der Prozess ein "invariantes Maß" hat: Für jedes t gilt dann

$X_{t}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }})$.