No-Cloning-Theorem

Das No-Cloning-Theorem verbietet die Existenz eines sog. Quantenkopierers. Es ist nicht möglich, den Zustand eines quantenmechanischen Teilchens auf ein anderes gleiches Teilchen zu übertragen, ohne dabei das ursprüngliche Teilchen zu verändern.

Diese Aussage ist für die Quantenteleportation von Bedeutung, bei der der Zustand eines Teilchens über große Entfernungen hinweg auf ein anderes gleiches Teilchen übertragen wird. Dabei wird der Zustand des ersten Teilchens verändert, und man hat tatsächlich eine Art Teleportation und keine Kopie.

Beweis durch Widerspruch (an einem Beispiel).

Annahme: Es gebe einen Quantenkopierer, der durch einen unitären Operator dargestellt wird, mit:

$|\psi \rangle |\phi \rangle |k\rangle \rightarrow |\psi \rangle |\psi \rangle |k'\rangle$

Dabei ist $|\psi \rangle$ der Zustand, der kopiert werden soll, $|\phi \rangle$ der Zustand, auf den kopiert werden soll (Leerzustand) und $|k\rangle$ der Zustand des Kopierers, der sich bei dem Kopiervorgang ändern darf zu $|k'\rangle$.

Im speziellen Fall eines Qubits, eines Systems mit zwei Zuständen $|0\rangle$ und $|1\rangle$, setzen wir $|\psi \rangle =a|0\rangle +b|1\rangle$ und erhalten:

${\hat {U}}\left(a|0\rangle +b|1\rangle \right)\,|\phi \rangle |k\rangle =$

$=\left[a|0\rangle +b|1\rangle \right]\,\left[a|0\rangle +b|1\rangle \right]|k'\rangle =$

$=a^{2}|0\rangle |0\rangle |k'\rangle +ab|0\rangle |1\rangle |k'\rangle +\cdots$

Gleichzeitig folgt aber aus der Linearität von ${\hat {U}}$:

${\hat {U}}\left[a|0\rangle |\phi \rangle |k\rangle +b|1\rangle |\phi \rangle |k\rangle \right]=a|0\rangle |0\rangle |k'_{1}\rangle +b|1\rangle |1\rangle |k'_{2}\rangle$

Da beide Rechnungen sich gegenseitig ausschließen, lässt sich dieser Zustand nicht kopieren $\square$.