Hamiltonsches Prinzip

Das Hamiltonsche Prinzip ist ein Grundprinzip der Physik, und kann als gleichwertig zu den Newtonschen Gesetzen gesehen werden. Aus dem Hamiltonschen Prinzip läßt sich der Lagrange-Formalismus der klassischen Mechanik ableiten.

Formulierung

Das Hamiltonsche Prinzip ist ein Extremalprinzip und stellt eine Verallgemeinerung verschiedener Beobachtungen dar. Beispielsweise folgt eine rollende Kugel immer der steilsten Neigung oder nimmt ein Lichtstrahl durch unterschiedliche Medien immer den Weg, der die geringste Laufzeit bedeutet (Fermatsches Prinzip).

Pierre Louis Maupertuis sprach 1746 als erster von einem allgemeingültigen Prinzip der Natur, extremal oder optimal abzulaufen. Leonhard Euler und Joseph Louis Lagrange trugen wesentlich zur mathematischen Formulierung dieser Gedanken bei (Euler-Lagrange-Gleichungen). 1823 formulierte William Rowan Hamilton dann das nach ihm benannte Prinzip.

Formale Beschreibung

Die klassische Mechanik betrachtet Systeme, in denen eine Anzahl miteinander oder mit der Umwelt wechselwirkender Teilchen (massebehafteter Objekte) berechenbare Wege durchlaufen und definiert zu solchen Systemen eine Lagrangefunktion ${\mathcal {L}}(x,{\dot {x}},t)$. Aus dieser ist das Wirkungsfunktional (auch Wirkungsintegral oder kurz Wirkung genannt) durch

$S[q]=\int _{t_{A}}^{t_{B}}{\mathcal {L}}(x,{\dot {x}},t)\,dt$

gegeben, wobei $t_{A}$ und $t_{B}$ Anfangs- und Endzeiten des betrachteten Zeitraumes sind und das Symbol $q$ die Gesamtheit der Wege, die die Teilchen durchlaufen, bezeichnet.

Das Hamiltonsche Prinzip behauptet nun, dass in der Natur nur solche Wege durchlaufen werden, für welche die Variation des Wirkungsfunktional Null ist:

$\delta S=0$

Anders ausgedrückt bedeutet diese Bedingung, dass das Wirkungsfunktional stationär ist, also Minimum, Maximum oder Sattelpunkt aufweist. Durch Methoden der Variationsrechnung kann nachgewiesen werden, dass das Hamiltonsche Prinzip äquivalent zur Gültigkeit der Lagrangegleichungen ist.

Konzeptionell unterscheidet sich die Formulierung der klassischen Mechanik mittels des Hamiltonschen Prinzips von der Newtonschen Formulierung. In letzterer bewirken Kräfte eine Beschleunigung der beteiligten Objekte, während in ersterer die Objekte dem Weg einer stationären Wirkung folgen.

Verallgemeinerungen

Das Hamiltonsche Prinzip wird unter dem Begriff Prinzip der kleinsten Wirkung auf Theorien außerhalb der klassischen Mechanik angewandt.