Das Smith-Diagramm (engl. Smith-Chart) ist ein Hilfsmittel der komplexen Wechselstromrechnung, mit dem Berechnungen komplexer Widerstände (Impedanzen) auf eine geometrische Konstruktion zurückgeführt werden können. Es wurde im Jahre 1939 von Phillip Smith (1905-1987) entwickelt.
Das Smith-Diagramm wird ebenfalls in der Leitungstheorie zur Impedanzanpassung verwendet. Das dort verwendete Smith-Diagramm unterscheidet sich lediglich durch die Interpretation der Achsen bzw. die Achsenbeschriftung von dem hier gezeigten.
Das Diagramm ist kreisförmig und ist mit einem komplexen Koordinatensystem versehen.
Es beruht auf der konformen Abbildung
der komplexen Ebene auf sich selbst. Bei dieser Abbildung wird die rechte Halbebene auf einen Kreis vom Radius 0,5 um den Mittelpunkt 0,5 abgebildet.Die linke Halbebene ist dabei ohne Bedeutung, da sie negativen ohmschen Widerständen entspricht, welche bei passiven Bauteilen nicht auftreten. In der Mathematik ist diese Transformation einer Ebene in eine andere auch unter der Möbiustransformation bekannt.Sie gehorcht der allgemeinen Form
- .
Datei:Smithdiagramm Abbildung.PNG
Die Abbildung besitzt die besondere Eigenschaft, dass das Bild einer Zahl z (z.B. z=2+j) und ihres Kehrwertes (z.B. 1/z=1/(2+j)=0,4-0,2j) spiegelsymmetrisch zum Kreismittelpunkt liegen (In der Wechselstromlehre wird j für die imaginäre Einheit verwendet, da das in der Mathematik hierfür übliche i mit dem Symbol für die Stromstärke verwechselt werden könnte). Das Smith-Diagramm kann somit sowohl- als Impedanz, als auch Admittanz-Diagramm benutzt werden.
Bei der Berechnung einer Parallelschaltung ergibt sich der Kehrwert des Gesamtimpedanz als Summe der Kehrwerte der Teilimpedanzen. Diese Kehrwertbildung wird im Smith-Diagramm also geometrisch durch eine Spiegelung ersetzt.
Im Smith-Diagramm wird immer mit normierten Grössen gearbeitet. Daraus ergibt sich der Vorteil, dass man unabhängig von Grössen wie der echten Frequenz, Wellenlänge oder Impedanz ist.
In der Leitungstheorie, z.B. bei Impedanzanpassungsproblemen, lassen sich der Reflexionsfaktor und das SWR einfach aus dem Smith-Diagramm ohne komplexe Rechnung bestimmen. Dazu misst man die Länge der Verbindungslinie zwischen Mittelpunkt und des Schnittpunkts der beiden Kreise der normierten Impedanz. Die Phase des Reflexionsfaktors kann auf der Verlängerung der Linie auf der äusseren Skala des Smith-Diagramms abgelesen werden. Das SWR lässt sich indirekt über den Reflexionsfaktor bestimmen, kann jedoch direkt auch direkt aus dem Smith-Diagramm abgelesen werden als Schnittpunkt des Kreises, welcher durch den Betrag des Reflexionsfaktors gegeben ist und der reellen Achse rechts vom Mittelpunkt.
Möchte man nun den Reflexionsfaktor an einer beliebigen Stelle auf einer Leitung berechnen so entspricht dies einer Drehung des Relexionsfaktors um die normierte Leitunslänge am Leitungsende auf dem Reflexionsfaktor-Kreis entweder hin zum Generator, also im Uhrzeigersinn oder hin zur Last, also im Gegenuhrzeigersinn.
Man beachte, dass das Smith-Diagramm in der oberen Hälfe induktive Impedanzwerte besitzt im Gegensatz zur kapazitiven unteren Hälfte.
Arbeiten mit dem Smith-Diagramm
- Normierung: ALle Elemente werden normiert, d.h. Impedanzen werden durch ihre charakteristische Impedanz dividert, Admittanzen mit multipliziert und anschliessend in das Smith-Diagramm eingetragen
- Impedanzen, welche in Serie geschaltet sind, können direkt addiert werden
- Impedanzen, welche Parallel geschaltet sind, müssen zuerst auf Admittanz-Form gebracht werden, d.h. am Mittelpunkt punktspiegeln
- Stichleitung. Die Stichleitung ist in eine Ersatzimpedanz umzurechnen und je nach Anordnung wie eine serielle oder parallel Impedanz zu addieren
- Bewegung auf der Leitung: Impedanz-Diagramm oder Admittanz-Diagramm um die entsprechende Leitung zum Generator (im Uhrzeigersinn) oder zur Last (im Gegenuhrzeigersinn) drehen.
- SWR: Das SWR erhält man, indem man den Punkt am gesuchten Ort um den Mittelpunkt auf die reelle Achse rechts dreht und den entsprechenden Wert abliest.
- Kurzschluss: Ist der Punkt ganz links im Impedanz-Diagramm, bzw. ganz rechts im Admittanz-Diagramm
- Leerlauf: Ist der Punkt ganz rechts im Impedanz-Diagramm, bzw. ganz links im Admittanz-Diagramm
Beispiel
Ein ohmscher Widerstand R = 150 Ω und ein Kondensator C = 10 μF sind in Reihe geschaltet, parallel hierzu liegt eine Spule L = 0,5 H. Die Schaltung ist an einen Generator angeschlossen, dessen Frequenz f = 79,6 Hz beträgt.
Die Kreisfrequenz ist dann ω = 2 π f = 500 s-1.
Für den komplexen Widerstand (die Impedanz) des Kondensators folgt
- ,
für die Impedanz der Spule errechnet man
- .
Bei der Reihenschaltung aus Widerstand und Kondensator werden die Werte einfach addiert und ergeben
- .
Um die Werte ins Smith-Diagramm eintragen zu können, in dem sich große Zahlen nicht mehr darstellen lassen, normiert man mit einem geeigneten Bezugswiderstand, z.B. Z0=100Ω, indem man alle Werte durch ihn dividiert. Dann wird
- (Widerstand und Kondensator)
und
- (Spule).
Diese beiden Widerstände sind parallel geschaltet. Für die Gesamtimpedanz X ist also
- .
Diese Kehrwerte werden im Smith-Diagramm durch Spiegelung am Kreismittelpunkt gewonnen.
Sie betragen
- und .
Die Addition der beiden Kehrwerte erfolgt rechnerisch oder im Smithdiagramm durch "Abzählen" am Koordinatengitter.
Man erhält
Um die Gesamtimpedanz X zu bestimmen, ist hiervon wieder der Kehrwert zu bilden. Man spiegelt also den soeben erhaltenen Punkt wieder am Kreismittelpunkt.
Als Ergebnis findet man
- X = 3,75 + 1,25j .
Da man zuvor durch 100 Ω dividiert hat, muss man nun wieder damit multiplizieren. Endgültig beträgt die Impedanz der Gesamtschaltung somit
- X = 375 Ω + 125 j Ω .
Sie kann daher ersatzweise durch eine Reihenschaltung aus einem Widerstand von 375 Ω und einer Spule von 125 j Ω dargestellt werden (bei ω = 500 s-1 entspricht das einer Induktivität von 0,25 H).