Logarithmische Spirale
Eine logarithmische Spirale ist eine Spirale, die mit jeder Umdrehung den Abstand von ihrem Mittelpunkt, dem Pol, um den gleichen Faktor vergrößert. In umgekehrter Drehrichtung schlingt sich die Kurve mit abnehmendem Radius immer enger um den Pol. Jede Gerade durch den Pol schneidet die logarithmische Spirale stets unter dem gleichen Winkel. Wegen dieser Eigenschaft spricht man auch von einer gleichwinkligen Spirale.
Am leichtesten lässt sich eine logarithmische Spirale in Polarkoordinaten angeben:
Die sogenannte Goldene Spirale ist ein Sonderfall der logarithmischen Spirale, die als Spezialität das Teilungsverhältnisses des Goldenen Schnittes, durch Verwendung von rekursiver Teilung eines Goldenen Rechtecks in je ein Quadrat und ein weiteres, kleineres Goldenes Rechteck, in sich trägt.
In der belebten Natur finden sich zahlreiche Beispiele logarithmischer Spiralen mit diversen Steigungen, wie beispielsweise durch Wachstum entstandene Schneckenhäuser oder die Anordnung von Kernen in der Blüte einer Sonnenblume.
Die logarithmische Spirale hat eine Reihe interessanter Eigenschaften, weshalb sie von Jakob I. Bernoulli auch als spea mirabilis (wunderbare Spirale) bezeichnet wurde:
- alle durch den Pol gehenden Gerade schneiden die Kurve unter dem gleichen Winkel (s.o.)
- ein Kreis () ist ein Spezialfall der Kurve mit einem Schnittwinkel von 90 Grad
- die Bogenlänge der Kurve von jedem Kurvenpunkt zum Pol ist endlich, obwohl unendlich viele Drehungen bis zum Erreichen des Pols benötigt werden
- die Kurve ist ihre eigene Evolute
- eine Inversion der Kurve () führt zur Spiegelung der Kurve an der Y-Achse
Siehe auch: Liste geometrischer Kurven