Potenz (Mathematik)

Potenzieren ist eine mathematische Rechenoperation, die sich zur Multiplikation analog wie diese zur Addition verhält. Es handelt sich also um eine "Kurzschreibweise" für wiederholtes Multiplizieren:

{\begin{matrix}\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdots a} &=a^{b}\\{b\ \mathrm {Faktoren} }\end{matrix}}

$a$ nennt man die Basis (Grundzahl) und $b$ den Exponenten (Hochzahl). Das Ergebnis ist die Potenz. Hierbei ist $a$ eine reelle und $b$ (vorerst) eine natürliche Zahl. Ist $b=0$ , so wird $a^{0}=1$ festgelegt.

Wenn hochgestelltes Schreiben nicht möglich ist (z.B. in einem ASCII-Text), verwendet man oft a^b (beispielsweise in TeX), gelegentlich auch a**b (beispielsweise in Fortran) oder pow(a,b) (beispielsweise in C).

Für eine reelle Zahl $a$ und eine natürliche Zahl $n$ wird definiert

$a^{-n}:={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$

Es gibt auch Erweiterungen des Potenzierens für nichtganzzahlige Exponenten, siehe dazu den Abschnitt nicht ganzzahlige Exponenten.

Rechenregeln

Sind $a$ und $b$ reelle Zahlen und $n$ , $r$ und $s$ natürliche Zahlen, so gilt:

$\left(a\cdot {}b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
$a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$

${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
$\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
$a^{0}=1$

Das Potenzieren ist weder kommutativ, denn beispielsweise gilt $2^{3}=8\not =9=3^{2}$ , noch assoziativ, denn beispielsweise gilt $\left(3^{1}\right)^{3}=27\neq 3=3^{\left(1^{3}\right)}$ .

Die Schreibweise $a^{b^{c}}$ ohne Klammern bedeutet $a^{(b^{c})}$ , vor allem auch deshalb, weil man nach den obigen Regeln $(a^{b})^{c}$ einfacher als $a^{b\cdot c}$ schreiben kann.

Umkehrfunktion

Da das Kommutativgesetz beim Potenzieren nicht gilt, gibt es zwei Umkehrrechenarten:

das Wurzelziehen, um Gleichungen der Bauart $x^{a}=b$ zu lösen
das Logarithmieren für Gleichungen des Typs $a^{x}=b$ .

nicht ganzzahlige Exponenten

Sind $n$ und $m$ ganze Zahlen ( $n\neq 0$ ), sowie $a$ eine positive, reelle Zahl, dann definiert man:

a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}

Die obe genannten Rechengesetze gelten auch in diesem Fall.

Ausdrücke wie ${\sqrt[{6}]{(-27)^{2}}}$ sind zwar auch definiert, jedoch ist $(-27)^{\frac {2}{6}}$ undefiniert, da man ${\frac {2}{6}}$ kürzen kann zu ${\frac {1}{3}}$ , aber ${\sqrt[{6}]{(-27)^{2}}}=3$ ungleich ${\sqrt[{3}]{(-27)^{1}}}=-3$ ist.

siehe auch Wurzel (Mathematik)

Potenzen positiver reeller Zahlen mit beliebigen reellen Exponenten sind so definiert:

a^{b}:=\exp(b\cdot \ln a)

Dabei ist $\exp$ die Exponentialfunktion und $\ln$ der natürliche Logarithmus.

Potenzen komplexer Zahlen

Ist $a+bi=r\cdot e^{i\varphi }$ mit reellen Zahlen $a$ , $b$ , $r>0$ und $\varphi$ , dann gilt

(a+b\;i)^{n}=(r\cdot e^{i\varphi })^{n}=r^{n}\cdot e^{i\;n\varphi }=r^{n}\cdot (\cos(n\varphi )+i\sin(n\varphi ))

Das Wurzelziehen ist bei komplexen Zahlen nicht eindeutig. Es ergeben sich $n$ verschiedene $n$ -te Wurzeln einer komplexen Zahl $a+bi\neq 0$ :

(a+b\;i)^{1/n}=(r\cdot e^{i\varphi })^{1/n}=\left\{r^{1/n}\cdot e^{i\;(\varphi +2\pi k)/n}\ |\ k=1,...\;,n\right\}

Potenzen beliebiger komplexer Zahlen mit beliebigen reellen oder sogar komplexen Exponenten lassen sich zwar durch die Formel $a^{b}:=\exp(b\cdot \ln a)$ definieren. Da jedoch der komplexe Logarithmus unendlich viele Werte annimmt, hat man unendlich viele verschiedene Potenzen.

Besondere Potenzen

Im alltäglichen Leben werden die Zehnerpotenzen, also die Potenzen mit der Basis 10 (das sind 1, 10, 100, 1000, ...) wohl am häufigsten verwendet. Sie bilden die Grundlage unseres Zahlensystems, des Dezimalsystems.

Zur digitalen Verarbeitung von Daten am Computer wird das Dualsystem mit der Basis 2 verwendet. Die Größeneinheiten digitaler Speichersysteme sind daher die Zweierpotenzen, also die Potenzen zur Basis 2 (das sind 1, 2, 4, 8, 16, ...). Ein Kibibyte (abgekürzt KiB) entspricht $2^{10}=1.024$ Bytes.

Für die Mathematik besonders wichtig sind die Potenzen mit der Basis $e\approx 2,71828$ , der so genannten Eulerschen Zahl.

Anwendungsbeispiele von Zweierpotenzen

Zweierpotenzen entsprechen dem Prozess der wiederholten Verdoppelung. Das Anwachsen dieser Zahlenfolge überrascht bei Praxisbeispielen oft.

Beispiel 1: Ein Blatt Papier lässt sich nur etwa 7 Mal auf die halbe Größe falten. Es hat dann 128 Lagen. Wenn man es (theoretisch) 42 Mal falten könnte, entspräche seine Dicke der Entfernung von der Erde zum Mond.

Beispiel 2: Jeder Mensch hat zwei biologische Eltern, vier Großeltern, acht Urgroßeltern, usw. Verfolgt man diesen Ahnenbaum 70 Generationen zurück (ins Jahr Christi Geburt), so stammt jeder heutige Mensch von $2^{70}=1.180.591.620.717.411.303.424$ Menschen aus dieser Zeit ab, was weit mehr als die damalige Weltbevölkerung ist.

Beispiel 3: Die Legende vom Erfinder des Schachspiels, der auf jedem Feld des Schachbrettes die Anzahl der Weizenkörner verdoppelte: Weizenkornlegende.

Bei Schneeballsystemen, z.B. so genannten Schenkkreisen, werden zum Teil Systeme gestartet, die nicht nur eine Verdoppelung, sondern z.B. eine Verachtfachung der neuen Mitglieder pro Schritt vorsehen. Solche Folgen wachsen derart schnell an, dass die Systeme bereits nach wenigen Schritten zwangsläufig kollabieren.

0 hoch 0

In der oben gegebenen Definition wurde $a^{0}=1$ für alle $a$ gesetzt, also ist insbesondere

0^{0}=1.

Da $0^{x}$ für alle positiven $x$ den Wert 0 hat, wäre auch der Wert 0 denkbar. Wie die Festlegung, dass 1 keine Primzahl ist, ist die Festlegung des Wertes von $0^{0}$ ebenfalls keine Frage von wahr oder falsch, sondern von zweckmäßig oder unzweckmäßig.

0 hoch 0 in der Mathematik

Bis Anfang des 19. Jahrhunderts haben Mathematiker anscheinend $0^{0}=1$ gesetzt, ohne diese Festlegung genauer zu hinterfragen. Augustin Louis Cauchy listete allerdings $0^{0}$ gemeinsam mit anderen Ausdrücken wie $0/0$ in einer Tabelle von unbestimmten Ausdrücken. Er wollte damit anscheinend darauf hinweisen, dass man zu jeder reellen Zahl $w\geq 0$ Funktionen $f,g$ so angeben kann, dass $f(a)=g(a)=0$ und

\lim _{x\to a}f(x)^{g(x)}=w

Grenzwertargumente sind zur Festlegung von $0^{0}$ also ungeeignet.

1833 veröffentlichte Guillaume Libri eine Arbeit, in der er wenig überzeugende Argumente für $0^{0}=1$ präsentierte, die in der Folge kontrovers diskutiert wurden. Zur Verteidigung von Libri veröffentlichte August Ferdinand Möbius einen Beweis seines Lehrers Johann Friedrich Pfaff, der im Wesentlichen zeigte, dass $\lim _{x\to 0+}x^{x}=1$ , und einen angeblichen Beweis für $\lim _{x\to 0+}f(x)^{g(x)}=1$ falls $\lim _{x\to 0+}f(x)=\lim _{x\to 0+}g(x)=0$ . Dieser Beweis wurde durch das Gegenbeispiel $f(x)=e^{-1/x}\!$ und $g(x)=x\!$ rasch widerlegt. In der Folge verstummte die Kontroverse und in Analysislehrbüchern verbreitete sich immer mehr die Konvention, $0^{0}$ undefiniert zu lassen.

Donald Ervin Knuth erwähnte 1992 im American Mathematical Monthly die Geschichte der Kontroverse und lehnte die Schlussfolgerung entschieden ab, dass $0^{0}$ undefiniert gelassen wird. Wenn man $0^{0}=1\!$ nicht voraussetzen kann, verlangen viele mathematische Theorem wie z.B. der binomischer Satz

(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}

eine Sonderbehandlung für die Fälle $x=0\!$ oder $y=0\!$ oder gleichzeitig $n=0\!$ und $x+y=0\!$ .

Ebenso taucht der Ausdruck $0^{0}\!$ in der Potenzreihe für die Exponentialfunktion

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}

and der Stelle

x=0\!

oder in der Summenformel für die geometrische Reihe

\sum _{k=0}^{n}q^{k}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}

für

q=0\!

auf. Auch hier ist die Konvention $0^{0}=1\!$ sinnvoll.

Die Konvention $0^{0}=1\!$ ist also aus praktischen Gründen sinnvoll, weil sie die Formulierung vieler mathematischer Ausdrücke vereinfacht. Das bedeutet aber keineswegs, dass die Funktion $x^{y}\!$ an der Stelle $x=y=0\!$ stetig wäre. Das ist aber kein Problem, da unstetige Funktionen in der Mathematik nichts Ungewöhnliches sind.

0 hoch 0 in der Informatik

Die Frage nach dem Wert von 0 hoch 0 spielt in der Informatik insbesondere bei der Standardisierung von Programmiersprachen eine Rolle. Lange Zeit wurde das allerdings nicht beachtet, ältere Sprachnormen legen anscheinend kein bestimmtes Verhalten fest; Taschenrechner verhalten sich ebenfalls unterschiedlich und liefern üblicherweise entweder 1 oder Error als Ergebnis.

William Kahan, der Hauptarchitekt des Standards IEEE 754 für binäre Gleitkommazahlen, empfahl für Zwecke der numerischen Mathematik $0^{0}=1\!$ zu wählen. Diese Konvention setzt sich anscheinend in der Informatik durch, so definieren der C99-Standard im Anhang F.9.4.4 sowie die Programmiersprache Java, dass pow(0.0,0.0)=1.

Literatur zu 0 hoch 0

Cauchy, Augustin-Louis. Analyse algébrique. Die Tabelle mit den unbestimmten Ausdrücken ist auf Seite 69.
Kahan, W. Branch Cuts for Complex Elementary Functions or Much Ado about Nothing's Sign Bit, in The State of the Art in Numerical Analysis, editors A. Iserles and M. J. D. Powell, Clarendon Press, Oxford, pp. 165--212.
Knuth, Donald Ervin. Two notes on notation. AMM 99 no. 5 (May 1992), 403-422. Preprint (als TeX-Quelltext) auf der Homepage von Knuth. Die Geschichte der Kontroverse ist auf Seite 6 des Preprints.
Libri, Guillaume. Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 10 (1833), 303-316.
Möbius, August Ferdinand. Beweis der Gleichung $0^{0}=1$ , nach J. F. Pfaff. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 12 (1834), 134-136.

siehe auch