Bilinearform

Als Bilinearform bezeichnet man in der linearen Algebra eine Funktion, welche zwei Vektoren einen Skalarwert zuordnet und die linear in ihren beiden Argumenten ist.

Die beiden Argumente können verschiedenen Vektorräumen $V,W$ entstammen, denen jedoch ein gemeinsamer Skalarkörper $K$ zugrunde liegen muss; eine Bilinearform ist eine Abbildung $B\colon V\times W\to K$. Eine Bilinearform ist eine Linearform bezüglich sowohl ihres ersten als auch ihres zweiten Arguments, und somit insbesondere eine Multilinearform mit zwei Argumenten.

Der Wert einer mindestens positiv definiten Bilinearform $B(v,w)$ auf zwei Vektoren $v,w$ wird meist als $\langle v,w\rangle$ geschrieben.

Definition

Es seien $V,W$ Vektorräume über einem Körper $K$ (oder allgemeiner ein Linksmodul $V$ und ein Rechtsmodul $W$ über einem nicht notwendigerweise kommutativen Ring).

Eine Abbildung

$B\colon V\times W\to K,\quad (v,w)\mapsto B(v,w)=\langle v,w\rangle$

heißt Bilinearform, wenn gilt:

• $\langle v_{1}+v_{2},w\rangle =\langle v_{1},w\rangle +\langle v_{2},w\rangle$
• $\langle v,w_{1}+w_{2}\rangle =\langle v,w_{1}\rangle +\langle v,w_{2}\rangle$
• $\langle \lambda v,w\rangle =\lambda \langle v,w\rangle$
• $\langle v,w\lambda \rangle =\langle v,w\rangle \lambda$

dabei sind $v,v_{1},v_{2}\in V$, $w,w_{1},w_{2}\in W$ und $\lambda \in K$.

Symmetrieeigenschaften im Fall V = W

Wenn beide Argumente der Bilinearform aus dem gleichen Vektorraum $V$ stammen, bezeichnet man $B(x,x),x\in V$ als den Formwert des Vektors x (bezüglich B). Die Bilinearform $B\colon V\times V\to K$ kann zusätzliche Symmetrieeigenschaften haben:

• Eine Bilinearform $B$ heißt symmetrisch, wenn

$B(x,y)=B(y,x)$

für alle $x,y\in V$ gilt.

Für eine symmetrische Bilinearform ist stets $2\cdot B(x,y)=B(x+y,x+y)-B(x,x)-B(y,y)$ (Polarisationsformel). Daraus folgt, dass die Bilinearform durch die Gesamtheit der Formwerte vollständig bestimmt ist, falls der zugrundeliegende Körper $K$ eine Charakteristik ungleich $2$ hat $(\operatorname {char} (K)\neq 2)$.

• Eine Bilinearform $B$ heißt alternierend, wenn alle Formwerte in Bezug auf $B$ verschwinden, wenn also

$B(x,x)=0$

für alle $x\in V$ gilt.

• Eine Bilinearform $B$ heißt antisymmetrisch oder schiefsymmetrisch, wenn

$B(x,y)=-B(y,x)$

für alle $x,y\in V$ gilt.

Jede alternierende Bilinearform ist auch antisymmetrisch. Ist $\operatorname {char} (K)\neq 2$, was zum Beispiel für $K=\mathbb {R}$ und $K=\mathbb {C}$ erfüllt ist, gilt auch die Umkehrung: Jede antisymmetrische Bilinearform ist alternierend. Betrachtet man allgemeiner Moduln über einem beliebigen kommutativen Ring, sind diese beiden Begriffe äquivalent, wenn der Zielmodul keine 2-Torsion besitzt.

Beispiele

• Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum ist eine nicht ausgeartete, symmetrische, positiv definite Bilinearform.
• Ein Skalarprodukt $B$ auf einem komplexen Vektorraum $V$ ist keine Bilinearform, sondern eine Sesquilinearform. Fasst man jedoch $V$ als reellen Vektorraum auf, so ist

$V\times V\to \mathbb {R} ,\quad (x,y)\mapsto \mathrm {Re} \,B(x,y)$

eine symmetrische Bilinearform und

$V\times V\to \mathbb {R} ,\quad (x,y)\mapsto \mathrm {Im} \,B(x,y)$

eine alternierende Bilinearform.

• Es gibt eine kanonische nicht ausgeartete Bilinearform

$V\times V^{*}\to K,\quad (v,f)\mapsto \langle v,f\rangle =f(v).$

Ausartungsraum

Definition des Ausartungsraums

Sei $B\colon V\times W\to K$ eine Bilinearform. Die Menge

$^{\perp }W\colon =\left\{v\mid \forall w\in W\colon B(v,w)=0\right\}\subseteq V$

ist ein Untervektorraum von $V$ und heißt Rechtskern oder Rechtsradikal der Bilinearform. Entsprechend heißt

$V^{\perp }\colon =\left\{w\mid \forall v\in V\colon B(v,w)=0\right\}\subseteq W$

Linkskern oder Linksradikal. Ist eine Bilinearform $B\colon V\times V\to K$ symmetrisch, so stimmen Rechtskern und Linkskern überein und man nennt diesen Raum den Ausartungsraum von $B$.

Die Schreibweisen $R^{\perp }$ und $^{\perp }S$ werden mit analoger Definition auch für Teilmengen $R\subseteq V$ beziehungsweise $S\subseteq W$ benutzt.

Nicht-ausgeartete Bilinearform

Jede Bilinearform $B$ definiert zwei lineare Abbildungen

$B_{l}\colon V\to W^{*},\quad v\mapsto \left(w\mapsto B(v,w)\right)$

und

$B_{r}\colon W\to V^{*},\quad w\mapsto \left(v\mapsto B(v,w)\right).$

Rechts- und Linkskern sind die Kerne dieser Abbildungen:

$\ker B_{l}={}^{\perp }W$

$\ker B_{r}=V^{\perp }$

Sind beide Kerne trivial (die beiden Abbildungen $B_{l}$ und $B_{r}$ also injektiv), so heißt die Bilinearform nicht-ausgeartet, nicht-entartet oder perfekte Paarung. Andernfalls heißt die Bilinearform ausgeartet oder entartet.

Die Bilinearform ist somit genau dann nicht-ausgeartet, wenn Folgendes gilt:

• Zu jedem Vektor $v\in V\setminus \{0\}$ existiert ein Vektor $w\in W$ mit $B(v,w)\neq 0$ und
• zu jedem Vektor $w\in W\setminus \{0\}$ existiert ein Vektor $v\in V$ mit $B(v,w)\neq 0.$

Sind $V$ und $W$ endlichdimensional, so sind die Abbildungen $B_{l}$ und $B_{r}$ für eine nicht-ausgeartete Paarung Isomorphismen.

Ist die Bilinearform symmetrisch, so ist sie genau dann nicht-ausgeartet, wenn ihr Ausartungsraum der Nullvektorraum ist.

Koordinatendarstellung

Für endlichdimensionale $V$ und $W$ kann man Basen $e=(e_{1},\ldots ,e_{n})$ und $f=(f_{1},\ldots ,f_{m})$ wählen.

Die darstellende Matrix einer Bilinearform $B\colon V\times W\to K$ ist nun

$M_{B}\in \mathrm {Mat} (n,m,K)$

${(M_{B})}_{ij}:=B(e_{i},f_{j})$

Sind $x$ und $y$ die Koordinatenvektoren von $v\in V$ und $w\in W$, so gilt

$B(v,w)=x^{T}M_{B}\,y={\begin{pmatrix}x_{1}\dots x_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B(e_{1},f_{1})&\cdots &B(e_{1},f_{m})\\\vdots &\ddots &\vdots \\B(e_{n},f_{1})&\dots &B(e_{n},f_{m})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}$

wobei das Matrixprodukt eine $1\times 1$-Matrix liefert, also ein Körperelement.

Ist umgekehrt $M$ eine beliebige $n\times m$-Matrix, so definiert

$B_{M}(x,y):=x^{T}M\,y$

eine Bilinearform $B_{M}\colon K^{n}\times K^{m}\to K$.

Basiswechsel

Sind $e'$ und $f'$ weitere Basen von $V$ und $W$, weiterhin ${}_{e'}{\mathbf {1} }_{e}$ die Basiswechselmatrix von $e$ nach $e'$. Dann ergibt sich die Matrix von $B$ in der neuen Basis als

$A'={}_{e}{\mathbf {1} }_{e'}^{T}\cdot A\cdot {}_{f}{\mathbf {1} }_{f'}$

Die Matrizen $A$ und $A'$ heißen dann kongruent.

Beispiele/Eigenschaften

• Das Standardskalarprodukt in $\mathbb {R} ^{n}$ hat bezüglich der Standardbasis als Matrix die Einheitsmatrix.
• Wenn V=W und dieselbe Basis für V und W verwendet wird, so gilt: Die Bilinearform ist (anti)symmetrisch genau dann, wenn die Matrix (anti)symmetrisch ist. Sie ist alternierend genau dann, wenn die Matrix antisymmetrisch ist und alle Elemente auf ihrer Hauptdiagonale gleich null sind
• Die Abbildung $B\mapsto M_{B}$ ist eine Bijektion des Raumes der Bilinearformen $V\times W\to K$ auf die $n\times m$-$K$-Matrizen. Definiert man die Summe und Skalarmultiplikation von Bilinearformen auf kanonische Weise ($(\lambda B_{1}+B_{2})(v,w):=\lambda B_{1}(v,w)+B_{2}(v,w)$), so ist diese Bijektion auch ein Vektorraumisomorphismus.
• Für symmetrische Bilinearformen über Vektorräumen endlicher Dimension existiert eine Basis, in der die darstellende Matrix Diagonalgestalt hat (falls $char(K)\neq 2$). (siehe Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren für den Spezialfall positiv definiter Bilinearformen)
• Falls weiterhin $K=\mathbb {R}$, kann man eine Basis finden, in der zusätzlich auf der Diagonalen nur die Einträge 1, -1 und 0 vorkommen (Trägheitssatz von Sylvester)

Weiterführende Bemerkungen

• Bilinearformen $V\times W\to K$ entsprechen linearen Abbildungen $V\otimes W\to K$; siehe Tensorprodukt.
• Wenn die Abbildung nicht notwendig in den Skalarkörper K, sondern in einen beliebigen Vektorraum erfolgt, spricht man von einer bilinearen Abbildung.
• Die Verallgemeinerung des Begriffes der Bilinearform auf mehr als zwei Argumente heißt Multilinearform.
• Über dem Körper der komplexen Zahlen fordert man oft Linearität im einen und Semilinearität im anderen Argument; statt einer Bilinearform erhält man dann eine Sesquilinearform. Insbesondere ist ein inneres Produkt über einem reellen Vektorraum eine Bilinearform, über einem komplexen Vektorraum aber nur eine Sesquilinearform.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0