Unitärer Operator

Ein unitärer Operator ist in der Mathematik ein bijektiver linearer Operator zwischen zwei Hilberträumen, der das Skalarprodukt erhält. Unitäre Operatoren sind damit spezielle orthogonale oder unitäre Abbildungen und stets normerhaltend, abstandserhaltend, beschränkt und normal. Der inverse Operator eines unitären Operators ist gleich seinem adjungierten Operator. Die Eigenwerte eines unitären Operators auf einem Hilbertraum haben alle den Betrag eins. Unitäre Operatoren zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen gleicher Dimension können durch unitäre Matrizen dargestellt werden. Wichtige Beispiele für unitäre Operatoren zwischen unendlichdimensionalen Funktionenräumen sind die Fouriertransformation und die Zeitentwicklungsoperatoren der Quantenmechanik.

Definition

Ein unitärer Operator ist ein bijektiver linearer Operator $T\colon V\to W$ zwischen zwei Hilberträumen $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{V})$ und $(W,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{W})$, sodass

$\langle Tu,Tv\rangle _{W}=\langle u,v\rangle _{V}$

für alle Vektoren $u,v\in V$ gilt. Eine unitärer Operator erhält demnach das Skalarprodukt zweier Vektoren. Ein unitärer Operator zwischen zwei reellen Hilberträumen wird gelegentlich auch als orthogonaler Operator bezeichnet.

Eigenschaften

Im Folgenden werden die Zusätze $V,W$ bei den Skalarprodukten weggelassen, da durch das Argument klar wird, um welchen Raum es sich jeweils handelt.

Grundeigenschaften

Jeder unitäre Operator stellt eine unitäre Abbildung (im reellen Fall orthogonale Abbildung) dar. Die Linearität folgt daher bereits aus der Erhaltung des Skalarprodukts und muss demnach nicht separat gefordert werden. Ein unitärer Operator erhält weiterhin die Skalarproduktnorm eines Vektors, das heißt es gilt

$\|Tv\|={\sqrt {\langle Tv,Tv\rangle }}={\sqrt {\langle v,v\rangle }}=\|v\|$,

und damit auch den Abstand zweier Vektoren. Die Abbildung $T$ stellt somit eine Isometrie dar und die beiden Räume $V$ und $W$ sind daher isometrisch isomorph. Die Eigenwerte eines unitären Operators $T\colon V\to V$ haben alle den Betrag eins.

Operatornorm

Für die Operatornorm eines unitären Operators $T$ gilt aufgrund der Normerhaltung

$\|T\|=\sup _{\|v\|=1}\|Tv\|=\sup _{\|v\|=1}\|v\|=1$.

Ein unitärer Operator ist demnach immer beschränkt und damit stetig.

Normalität

Der inverse Operator $T^{-1}$ eines unitären Operators $T$ ist gleich seinem adjungierten Operator $T^{\ast }$, also

$T^{-1}=T^{\ast }$,

denn es gilt

$\langle u,T^{\ast }v\rangle =\langle Tu,v\rangle =\langle Tu,TT^{-1}v\rangle =\langle u,T^{-1}v\rangle$.

Stimmen umgekehrt Inverse und Adjungierte eines linearen Operators überein, dann ist dieser unitär, denn es gilt

$\langle Tu,Tv\rangle =\langle u,T^{\ast }Tv\rangle =\langle u,T^{-1}Tv\rangle =\langle u,v\rangle$.

Damit ist ein unitärer Operator stets normal, wobei

$T^{\ast }T=TT^{\ast }=I$

gilt. Für unitäre Operatoren auf komplexen Hilberträumen und selbstadjungierte unitäre Operatoren auf reellen Hilberträumen gilt der Spektralsatz.

Basistransformation

Ist $T$ ein unitärer Operator und ist $(v_{i})_{i\in I}$ eine Hilbertbasis (ein vollständiges Orthonormalsystem) von $V$, dann ist $(Tv_{i})_{i\in I}$ eine Hilbertbasis von $W$, denn es gilt

$\langle Tv_{i},Tv_{j}\rangle =\langle v_{i},v_{j}\rangle =\delta _{ij}$.

Sind umgekehrt $(v_{i})_{i\in I}$ und $(Tv_{i})_{i\in I}$ Hilbertbasen von $V$ und $W$ und ist $T$ linear, so folgt daraus die Unitarität von $T$, denn man erhält

${\begin{aligned}\langle Tu,Tv\rangle &={\big \langle }T{\big (}{\textstyle \sum _{i}}\lambda _{i}v_{i}{\big )},T{\big (}{\textstyle \sum _{j}}\mu _{j}v_{j}{\big )}{\big \rangle }={\big \langle }{\textstyle \sum _{i}}\lambda _{i}Tv_{i},{\textstyle \sum _{j}}\mu _{j}Tv_{j}{\big \rangle }={\textstyle \sum _{i}}{\textstyle \sum _{j}}\lambda _{i}{\bar {\mu }}_{j}{\big \langle }Tv_{i},Tv_{j}{\big \rangle }=\\&={\textstyle \sum _{i}}{\textstyle \sum _{j}}\lambda _{i}{\bar {\mu }}_{j}\delta _{ij}={\textstyle \sum _{i}}{\textstyle \sum _{j}}\lambda _{i}{\bar {\mu }}_{j}\langle v_{i},v_{j}\rangle ={\big \langle }{\textstyle \sum _{i}}\lambda _{i}v_{i},{\textstyle \sum _{j}}\mu _{j}v_{j}{\big \rangle }=\langle u,v\rangle .\end{aligned}}$

Siehe auch

• Hilbert-Schmidt-Operator

Literatur

• Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte Einführung. 5. Auflage. Springer, 2008, ISBN 3-540-34186-2. 
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, 2005, ISBN 3-540-21381-3. 

Weblinks

• V.I. Sobolev: Unitary operator. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 
• Eric W. Weisstein: Unitary. In: MathWorld (englisch).
• asteroid: Unitary. In: PlanetMath. (englisch)