Black-Scholes-Modell

Das Black-Scholes-Modell ist ein finanzmathematisches Modell zur Bewertung von Finanzoptionen, das von Fischer Black und Myron Scholes 1973 (nach zweimaliger Ablehnung durch reputierte Zeitschriften) veröffentlicht wurde und als ein Meilenstein der Finanzwirtschaft gilt. Robert C. Merton kam praktisch zeitgleich in einer anderen Veröffentlichung auf die gleiche Lösung. Scholes und Merton wurden für die Entdeckung dieses Modells mit dem Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften 1997 geehrt, Black war bereits verstorben.

Das Modell basiert auf der Annahme, dass der natürliche Logarithmus des Basiswertes (also zB ein Aktienkurs) S einer Option einem sogenannten Wiener-Prozess folgt: $dS_{t}=rS_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t}$ .

So ergibt sich eine geometrische Brownsche Bewegung als Verlauf für die Aktienpreise.

Die Größe r gibt den risikofreien Zinssatz, $\sigma$ die Volatilität, t die Zeit und dW eine zu ${\sqrt {t}}$ proportionale, normalverteilte Zufallsgröße an. Das Modell nimmt an, dass der Markt Geldanlagen und -aufnahmen zum kontinuierlichen Zinssatz r ohne zusätzliche Kosten (Transaktionskosten) erlaubt. Für den Diskontierungsfaktor df gilt somit: $df=e^{-rT}$

Ziel unter anderem ist die Bewertung (Preisbestimmung) eines europäischen Calls c und Puts p auf den Basiswert S mit einem Ausübungspreis K und einer Restlaufzeit von T.

Die Optionen erbringen somit am Ende der Laufzeit (in T) die Kapitalflüsse: $CF(T,c)=max(S-K,0)$ beziehungsweise $CF(T,p)=max(X-K,0)$

Black und Scholes zeigen in ihrem Artikel, dass unter der Annahme einer konstanten Zins- und Volatilitätsentwicklung, die Option durch ein geeignetes Portfolio bestehend aus dem Basiswert S und einer Anlage oder einem Kredit mit dem Zinssatz r dynamisch dupliziert werden kann: Der faire Preis der Option bestimmt sich daher als diskontierter Erwartungswert der Auszahlungen in T, wobei der Erwartungswert bezüglich der Lognormalverteilung zu bilden ist (Konzept der risikoneutralen Bewertung)

${\mathsf {c=S_{0}\Phi (d_{1})-Ke^{-rT}\Phi (d_{2})}}$
${\mathsf {p=Ke^{-rT}\Phi (-d_{2})-S_{0}\Phi (-d_{1})}}$
wobei
${\mathsf {d_{1}={\ln(S_{0}/K)+(r+\sigma ^{2}/2)T \over \sigma {\sqrt {T}}}}}$
${\mathsf {d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}}}$
$\Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp {\frac {-z^{2}}{2}}dz$ die Verteilungsfunktion der Normalverteilung bezeichnet.

Unter Anwendung des Lemmas von Itō und der Annahme der Arbitragefreiheit kann unter den gleichen Annahmen die Black-Scholes Differentialgleichung hergeleitet werden.

${\mathsf {{\frac {\partial V}{\partial t}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}=rV}}$

V bezeichnet hierbei den Wert einer Option. Diese Differentialgleichung ist unter den gegebenen Annahmen für beliebige Aktienoptionen mit einfachem (europäischem) Kündigungsrecht gültig. Die Mathematik hinter dem Black-Scholes-Modell beruht auf der 1944/46 von Itō Kiyoshi begründeten Theorie der stochastischen Differentialgleichungen.

Die »Griechen« nach Black-Scholes

Als »Griechen« (engl. »Greeks«) werden die Ableitungen des Optionspreises nach den jeweiligen Modellparametern bezeichnet. Sie helfen Händlern ihr Portfolio auszutarieren, Risken einzuschätzen und zu kontrollieren.

Delta

Delta einer europäischen Option nach Black Scholes

Delta eines Calls mit der Zeit; jeweils aus, am und im Geld. Für den Put ist der Verlauf genau gleich, nur nach unten verschoben

Das Delta ist die Ableitung des Optionspreises nach dem Preis des Basiswertes. Es gibt also an, um wieviel der Optionspreis steigt, wenn der Aktienkurs um 1% steigt. Im Black-Scholes Modell errechnet man das Delta direkt als: $\Delta _{c}={\frac {\partial C}{\partial S}}=\Phi (d_{1})$ für den europäischen Call, bzw $\Delta _{p}={\frac {\partial P}{\partial S}}=-\Phi (-d_{1})$ für den Put. Ein Delta-neutrales Portfolio besitzt ein Delta von Null, es ist daher (lokal; also für kurze Zeiträume) gegen Bewegungen des Basiswertes immun.

Gamma

Das Gamma ist die zweite Ableitung des Optionspreises nach dem Preis des Basiswertes. Es ist für Call und Put im Black Scholes Modell gleich und zwar $\Gamma ={\frac {\partial ^{2}C}{\partial S^{2}}}={\frac {\phi (d_{1})}{S\sigma {\sqrt {T-t}}}}$ . Das Gamma ist also immer positiv, das heißt der Optionspreis ändert sich immer in die gleiche Richtung (steigen/fallen) wie die Volatilität. Ist die Optionen »at the money« (»am Geld«), kann das Gamma bei abnehmender Restlaufzeit über alle Schranken wachsen.

Gamma einer europäischen Option nach Black Scholes

Vega

Das Vega bezeichnet die Ableitung des Optionspreises nach der Volatilität und gibt somit an, wie stark eine Option auf Änderungen der (im Black-Scholes Modell konstanten!) Volatilität reagiert. Das Vega ist für einen europäischen Call und Put gleich und zwar $S{\sqrt {T-t}}\phi (d_{1})$ .

Vega ist kein griechischer Buchstabe. Sigma ist als Zeichen schon für die Standardabweichung vergeben, die ja unter anderem als Volatilität interpretiert wird.

Theta

Das Theta bezeichnet die Ableitung nach der Zeit, gibt also die Sensitivität der Option auf Änderungen der Restlaufzeit an. Da sich - ceteris paribus - mit der Zeit der Wert einer Option an den Payoff zum Fälligkeitsdatum annähert, ist Theta immer negativ; man verliert mit der Zeit Geld. Es wird auch als Zeitwert der Option bezeichnet. Im Black-Scholes Modell ist es $\Theta _{c}={\frac {S\phi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}-rK\exp {-r(T-t)}\Phi (d_{2})$ bzw. $\Theta _{p}={\frac {S\phi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}+rK\exp {-r(T-t)}\Phi (-d_{2})$ .

Rho

Mit Rho wird die Sensitivität der Option bei kleinen Änderungen des Zinssatzes bezeichnet.

Probleme des Modells

Trotz der berechtigten Kritikpunkte ist die Black-Scholes-Formel aus der Finanzwelt nicht mehr wegzudenken:

Es wird eine konstante Volatilität angenommen. Erweiterte Modelle, in denen die Volatilität als fallende Funktion vom Aktienkurs angenommen werden, wie z.B. das CEV-Modell, liefern bessere Resultate.
Die Black-Scholes-Formel steht und fällt mit der Schätzung der Volatilität. Wird zur Berechnung die Implizite Volatilität herangezogen, dann ist das Ergebnis nicht besonders befriedigend. Die Abschätzungsformel nach Cox-Ross-Rubinstein-Modell liefert da bessere Ergebnisse.
Im Black-Scholes-Modell ist die Volatilität σ konstant. Marktpreise von Optionen zeigen aber, dass die (implizite) Volatilität gerade eben nicht konstant ist, es ist ein Volatility-Smile zu beobachten. Das liegt daran, dass die sogenannten "Marktpreise" ja auch unter Zuhilfenahme des Black-Scholes-Modells "errechnet" werden. Das Modell geht (mit Ln[Kurs/Basis]) wenig realistisch davon aus, dass der künftige, unterstellte Kurs um den Basiswert streuen würde. Die empirische Erfahrung, die auch von vielen Autoren beobachtet und geteilt wird, zeigt jedoch, dass Kurse eher um den letzten Wert („bester Schätzer“) streuen.
Die Black-Scholes-Formel gilt nur für europäische Optionen. Für amerikanische (also pfadabhängige) Optionen, insbesondere für amerikanische Puts liefert sie unzureichende Ergebnisse.

Weblinks

Nobel-Vorlesungen 1997 von Scholes und Merton
American Mathematical Society zum 97er Wirtschaftsnobelpreis, mit weiteren Links
Einführung in die Optionspreisbestimmung von Prof. Dr. Heinz Cremers, HfB – Business School of Finance & Management, Frankfurt am Main.
Bradley University mehrseitige, informelle Darstellung mit umfangreicher Bibliographie
Online-Rechner Achtung: Web-Oberfläche gut gemacht, sehr instruktiv, aber mangelhafte Numerik

Literatur

Originalarbeiten:

Black, F. and Scholes, M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy 81 (1973).
Merton, R. C. Theory of Rational Option Pricing, Bell Journal of Economics and Management Science 4 (1973).

Empirische Kritik:

Pape, Ulrich/Merk, Andreas: Zur Angemessenheit von Optionspreisen. Ergebnisse einer empirischen Überprüfung des Black/Scholes-Modells, Working Paper Nr. 4, ESCP-EAP Europäische Wirtschaftshochschule Berlin, Dezember 2003.