Orthogonalität bezeichnet in der Mathematik das Konzept des Senkrechtstehens, in der Informatik die freie Kombinierbarkeit unabhängiger Konzepte.
Elementargeometrie
In der Elementargeometrie heißen zwei Geraden orthogonal oder senkrecht zueinander, wenn sie einen rechten Winkel, d.h. einen Winkel von 90° einschließen.
Orthogonale Vektoren
Allgemein gelten zwei Vektoren aus einem reellen Vektorraum, für den ein positiv definites inneres Produkt (oder Skalarprodukt) definiert ist, als orthogonal zueinander, wenn das innere Produkt der beiden Vektoren gleich 0 ist. Diese Vektorräume können zum Beispiel der und der sein, aber auch Funktionenräume.
Eine Menge von Vektoren nennt man orthogonal oder Orthogonalsystem, wenn alle darin enthaltenen Vektoren paarweise orthogonal zueinander sind. Eine Menge von orthogonalen Vektoren, die alle vom Nullvektor verschieden sind, ist immer linear unabhängig und bildet deshalb eine Basis der linearen Hülle dieser Menge. Wenn zusätzlich alle darin enthaltenen Vektoren die Norm 1 besitzen, nennt man die Menge ein Orthonormalsystem. Ist der Vektorraum endlichdimensional, so besitzt er immer eine Orthonormalbasis; diese lässt sich durch das Gram-Schmidtsche-Orthogonalisierungsverfahren bestimmen.
Orthogonale Funktionen
In Funktionenräumen mit Skalarprodukt, wie Hilberträumen, ist die Definition orthogonaler Funktionen analog, so lassen sich beispielsweise orthogonale Polynome bestimmen und auch orthogonale Basen. Allerdings sind viele interessante Räume wie der L2-Raum unendlichdimensional, siehe dazu Hilbertraumbasis. In der Quantenmechanik bilden auch die Zustände eines Systems einen Vektorraum. Entsprechend spricht man dort auch von orthogonalen Zuständen.
Orthogonale Matrizen
Eine quadratische, reelle Matrix nennt man orthogonale Matrix, wenn ihre Spalten aus orthonormalen (nicht orthogonalen!) Vektoren bestehen, falls also (bzw. ) gilt.
Die Entsprechung bei den komplexen Zahlen ist die unitäre Matrix.
Orthogonale Projektion
nennt man jene Abbildungen eines Urbildes (meist der Kugel) auf eine Ebene, die parallele Strahlen senkrecht auf die Projektionsebene aufweisen. Projiziert wird also aus dem Unendlichen. Für perspektive Projektionen ist dies gleichbedeutend mit der Abbildung üblicher Mondkarten der Vorder- und Rückseite.
Orthogonale (oder orthografische) Projektionen der Mond- oder der Erdkugel haben aber orthogonale Breiten- und Längenkreise nur bei Polarprojektionen. Die äquatorialen und schiefachsigen Abbildungen weisen auch im Schnitt der Koordinatenlinien große Winkelverzerrungen auf.
Informatik
In FORTRAN 66 durfte als (ganzzahliger) Index zur Bezeichnung eines Feld-Elements nur ein Ausdruck der Bauart „Konstante-1 mal Variable plus Konstante-2“ stehen, wobei zwei der drei Werte (samt zugehörigen Rechenzeichen) fehlen konnten. Schon vorher in ALGOL 60 galt das Prinzip der Orthogonalität, das heißt der freien Kombinierbarkeit unabhängiger Konzepte, mit der Folgerung: Wo irgendein Ausdruck eines Typs stehen darf, darf jeder beliebige Ausdruck dieses Typs stehen. Das bestätigt den Satz ALGOL 60 is an improvement over most of its successors.