Rationale Abbildung

Sind $X$ und $Y$ zwei irreduzible algebraischen Varietäten oder Schemata, so ist eine rationale Abbildung eine Funktion von einer offenen Teilmenge von $X$ nach $Y$. Rationale Abbildungen entsprechen Körperhomomorphismen der Funktionenkörper der Varietäten.

Rationale Abbildungen werden benötigt zur Definition der birationalen Äquivalenz, ein wichtiger Begriff zur Klassifikation von Varietäten.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit algebraischer Geometrie und kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definitionen

Reguläre Funktionen algebraischer Variäteten

Im Folgenden sei $V$ eine irreduzible affine Variätet mit Koordinatenring $K[V]$. Der Koordinatenring ist ein Integritätsbereich, K(V) bezeichne seinen Quotientenkörper. Die Elemente aus $K(V)$ werden als rationale Funktione auf V bezeichnet.

Ist $f\in K(V$) und $x\in V$, so wird $f$ regulär in $x$ genannt, wenn $g,h\in K[V]$ existieren mit:

$h(x)\neq 0$

$f={\frac {g}{h}}$

Ist $f\in K(V)$, so wird die Menge der Elemente, in denen $f$ regulär ist, als Definitionsbereich von $f$, als $\mathrm {dom} (f)$, bezeichnet.

Rationale Abbildungen

$\mathbb {A} _{k}^{n}$ bezeichne den n-dimensionalen affinen Raum über einem Körper k.

Seien $V\subset \mathbb {A} _{k}^{l}$ und $W\subset \mathbb {A} _{k}^{n}$ Varietäten über einem Körper k. Eine rationale Abbildung von $V$ nach $W$ ist ein Tupel

$f=(f_{1},\dots ,f_{n})$

mit $f_{i}\in K(V)$

Die Abbildung heißt in $x\in V$ regulär, falls alle $f_{i}$ in $x$ regulär sind. Der Definitonsbereich von $f$ ist

$dom(f)=\bigcap _{i=1}^{n}dom(f_{i})$

Literatur

• Klaus Hulek: Elementare Algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 2000, ISBN 3-528-03156-5.
• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9