Gammaverteilung

Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie ist definiert durch die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)={b^{p} \over \Gamma (p)}x^{p-1}e^{-bx}$

für x>0; für andere Werte von x wird sie durch f(x)=0 fortgesetzt. Sie besitzt die Parameter b und p (mit b, p > 0).

Der Vorfaktor b^p/Γ(p) dient der korrekten Normierung; der Ausdruck $\Gamma (p)$ steht für die Gammafunktion, nach der die Verteilung auch benannt ist.

Erwartungswert und Varianz der Gammaverteilung sind

${\rm {E}}(X)={p \over b}\quad {\mbox{und}}\quad {\rm {V}}(X)={p \over b^{2}}.$

Die Gammaverteilung ist reproduktiv: Die Summe aus den stochastisch unabhängigen gammaverteilten Zufallsvariablen X und Y, die beide gammaverteilt sind mit den Parametern b und p_x bzw. p_y, ist wiederum gammaverteilt mit den Parametern b und p_x + p_y.

Die Gammaverteilung bildet eine sog. Familie für einige theoretische Verteilungsfunktionen:

• Die χ2-Verteilung mit k Freiheitsgraden ist eine Gammaverteilung mit den Parametern p = k/2 und b = 1/2.

• Die Exponentialverteilung mit dem Parameter λ ist eine Gammaverteilung mit den Parametern p = 1 und b = λ.

• Der Quotient X/(X + Y) aus den stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen X und Y, die beide gammaverteilt sind mit den Parametern b und p_x bzw. p_y, ist betaverteilt mit den Parametern p_x und p_y.

Literatur

• Lindgren, Bernard W.: Statistical Theory, New York etc., 1993
• Fisz, Marek: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik, Berlin 1970
• P. Heinz Müller (Hrsg.): Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik, Leipzig 1991