Chi-Quadrat-Verteilung

Beschreibung und Definition

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie hat einen einzigen Parameter, n, der eine natürliche Zahl sein muss. Man sagt auch n ist der Freiheitsgrad der Chi-Quadrat-Verteilung. In Symbolen:

$X\sim \chi ^{2}(n)\quad n\in \mathbb {N}$

Dichte und Verteilungsfunktion

$f(x)={\frac {x^{{\frac {n}{2}}-1}}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\exp \left(-{\frac {x}{2}}\right)\quad 0<x<\infty$

$F(x)=\Gamma \left({\frac {n}{2}},{\frac {x}{2}}\right)$

Die folgenden Bezeichnungen wurden hier verwendet: $\Gamma (z)$ für die Gammafunktion und $\Gamma (a,z)$ für die unvollständige Gammafunktion.

Eigenschaften

• Der Erwartungswert der Chi-Quadrat-Verteilung ist $n$.
• Die Varianz der Chi-Quadrat-Verteilung ist $2n$.
• Der Modus der Chi-Quadrat-Verteilung ist $n-2$ für $n\geq 2$.

Bild der Dichtefunktion

Zusammenhang mit der Normalverteilung

Seien die Zufallsvariablen $Y_{1},\dots ,Y_{n}\sim N(0,1)$, also standardnormalverteilt, und unabhängig voneinander. Dann gilt

$X:=\sum _{i=1}^{n}Y_{i}^{2}\sim \chi ^{2}(n)$

Zusammenhang mit der Gamma-Verteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist ein Spezialfall der Gamma-Verteilung. Ist $X\sim \chi ^{2}(n)$, so gilt

$X\sim Gamma\left({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}}\right)$