Diskussion:Fundamentalsatz der Algebra

Bedeutung und Historie der Namensgebung

Aus dem Artikel:

"Entgegen seinem Namens ist dieser Satz weder sehr fundamental, noch ein Satz der Algebra."

Kann mir das jemand näher erklären? Ich weiss, dass er durch Analysis bewiesen wird, trotzdem hat er doch einen rein algebraischen Inhalt, oder? Und wann heisst ein Satz "fundamental"?

"Graphische Interpretation fehlt noch." (War ein HTML-Kommentar, wohl von Caramdir)

Welche Art grafischer Interpretation sollte das sein? --SirJective 10:36, 7. Nov 2003 (CET)

Warum der Satz nicht fundamental sein sollte, verstehe ich auch nicht. Die algebraische Abgeschlossenheit des Körpers der komplexen Zahlen sehe ich schon als eine recht fundamentale Einsicht an. Als "rein algebaischen" Satz würde ich den Fundamentalsatz der Algebra aber deswegen nicht bezeichnen, weil letztlich die reellen und komplexen Zahlen, über die der Satz eine Aussage macht, Konstrukte der Analysis sind. Deshalb kann man den Satz auch nicht mit rein algebraischen Mitteln beweisen.

Ich meinte, dass die Aussage des Satzes eine algebraische ist; du hast recht damit, dass das C kein algebraisches Konstrukt ist. Jedoch betrachtet die Algebra auch Körper, die nicht algebraisch konstruiert sind, z.B. wenn Erweiterungen dieser Körper betrachtet werden. Die würde ich als algebraische Sätze auffassen, selbst wenn sie z.B. für R und C zutreffen. Der Fundamentalsatz ist insofern ein Grenzfall, als er über nur einen einzigen Körper - der kein algebraisches Konstrukt ist - eine Aussage macht. --SirJective 20:54, 7. Mär 2004 (CET)

Laut meinem Lehrbuch 'Einführung in die Mathematik für Informatiker / Baron,Kirschenhofer/1989 Springer-Verlag' steht dazu Folgendes:

Fundamentalsatz der Algebra:

Ausgangspunkt für die Erweiterung der Menge R zur Menge C war unsere Beobachtung, daß nicht jede algebraische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten eine Lösung in R besitzt. Tatsächlich kann man zeigen, daß jede derartige Gleichung in C eine Lösung hat. Es gilt sogar mehr:

Jede algebraische Gleichung

$c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{0}=0{\mbox{ vom Grad }}n\geq 1$

mit Koeffizienten

$c_{i}\in \mathbb {C} (0\leq i\leq n)$

besitzt in $\mathbb {C}$ mindestens eine Lösung.

$\mathbb {C}$ heißt aufgrund dieser Eigenschaft algebraisch abgeschlossen. --Akrostychon 23:59, 24. Apr 2004 (CEST)

Ich würde nicht unbedingt sagen, dass $\mathbb {C}$ kein algebraisches Konstrukt ist. Wenn man die natürlichen Zahlen erstmal hat, die einem eigentlich allgemeine Grundlagen liefern, kann man zu den ganzen und rationalen Zahlen kommen. Von dort aus gibt es zwei Wege zu den reellen - der eine über die Faktorisierung nach den Cauchyfolgen, also eine Vervollständigung, der andere über angeordnete Körper. Der erste eher analytisch, der zweite eher algebraisch. Vom zweiten her kommt man zu der Aussage, dass es "im Wesentlichen" nur einen archimedisch angeordneten Körper gibt. Von dort aus schließlich kann man durch eine konkrete Definition den Körper der komplexen Zahlen erhalten, weil man nur anzugeben braucht, wie man multipliziert.

Insofern würde ich sagen, $\mathbb {C}$ lässt sich auf zweierlei Arten konstruieren. Je nachdem, ob nun die Analysis oder die Algebra sich damit beschäftigt, werden eben verschiedene Aspekte davon betrachtet. Denoevyn 15:01, 11. Aug 2006 (CEST)

Ich habe die zwei Sätze aus der Einleitung entfernt, weil einerseits die Bedeutung des Fundamentalsatzes der Algebra sehr umstritten ist. Aus Sicht der Algebra ist der Satz von Steinitz: "Jeder Körper hat einen algebraischen Abschluss" sehr viel fundamentaler. Andererseits ist die Liste, die verlinkt ist, keine große anerkannte Autorität. (Vielleicht macht ein Beispiel meinen Standpunkt klar: Hätte Hilbert diesen Satz als Zweitwichtigsten benannt, so wäre dem Leser klar, dass ein fähiger Mathematiker dieser Meinung war.)

Dann noch in eigener Sache: Mich würde eine rein algebraische Konstruktion der reellen Zahlen sehr interessieren. Ich kenne nur die Vervollständigung mittels Cauchyfolgen und die Konstruktion aus Dedekind'schen Schnitten. Beide würde ich nicht als algebraisch bezeichnen.

--129.206.197.208 15:24, 24. Jan. 2009 (CET)

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Die Summe An*x^n sollte laut Artikel in eine Summe von Linearfaktoren zerlegt werden können. Auf der rechten Seite steht aber dann immer x^n also müsste doch An = 1 sein. Sonst stimmt der Satz denk ich nicht.

Fehler im Satz?

Derzeit im Artikel

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Sei

$P(z)=\sum _{n=0}^{k}a_{n}\cdot z^{n}$

ein nicht konstantes Polynom vom Grad $k\in \mathbb {N}$ mit komplexen Koeffizienten, d.h. $a_{n}\in \mathbb {C}$, mindestens ein $a_{n}$ ist von Null verschieden und n ist größer Null.

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... ist nicht eher k ist größer Null gemeint? --Abdull 15:48, 9. Jun 2006 (CEST)

Natürlich, aber wenn man n als Summationsindex und k als Grad nimmt, ist so eine Verwechslung wohl vorprogrammiert. Horrorist 21:21, 9. Jun 2006 (CEST)

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Anderer Fehler?

In allen Formeln zu diesem Satz müssten die Summation- und Multiplikationsindizes eigentlich bei 1 statt bei 0 beginnen, oder? Ansonsten ist ein "konstantes Polynom" immer mit inbegriffen. Fabolu 23:00, 12. Aug 2006 (CEST)

Sie sollen schon bei 0 beginnen, sonst wäre der "Satz" ja trivial. Dass das "Polynom" allerdings keine Konstante sein soll, steht zweimal explizit da: nicht konstantes Polynom vom Grad $n\in \mathbb {N}$, $n\geq 1$. Das ist natürlich wichtig. --Floklk 13:12, 13. Sep 2006 (CEST)

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Rein algebraischer Beweis?

Zitat: "Es wird benutzt, dass nach dem Zwischenwertsatz jedes reelle Polynom ungeraden Grades mindestens eine Nullstelle hat"- Ist das noch ein rein algebraischer Beweis, wenn der Zwischenwertsatz benutzt wird? Gk63 17:37, 19. Dez. 2007 (CET)

Gilt historisch als solcher. Dass der Zwischenwertsatz etwas Fundamentales über reelle Zahlen und stetige Funktionen aussagt, wurde erst Mitte-Ende des 19. Jh. bewußt, der Beweis stammt vom Anfang des 19. Jh. Nebenbei: In der Algebra werden reell abgeschlossene Körper definiert, indem man gerade diese Eigenschaft fordert, dass ungeradgradige Polynome immer eine Nullstelle im Körper besitzen; neben der Eigenschaft, dass keine Summe von Quadraten den Wert -1 annehmen kann. Also könnte man pur algebraisch sagen, dass jedes Polynom mit rationalen Komponenten über dem reell algebraischen Abschluss von Q in lineare und irreduzible quadratische zerfällt.--LutzL 08:58, 20. Dez. 2007 (CET)

Dennoch benutzt der Beweis den Zwischenwertsatz der Analysis. Historisch hin oder her. Ich ändere den Titel mal. --129.206.197.83 17:19, 26. Jan. 2008 (CET)

Beweis

Zum Thema: Nach Konstruktion ist C sogar ein globales Minimum. Wäre C positiv, so wäre die reziproke Funktion ...

C wird als Betrag des des Minimums definiert. Dann wird über Liouville gezeigt, dass C nicht größer Null sein kann, da sonst f konstant wäre. Also wird gefolgert, dass C kleiner 0 sein muss, also f eine Nullstelle hat.

Hier mein Problem: Seit wann kann der Betrag einer Funktion kleiner als Null sein? Irgendwo muss der Beweis doch hinken?! Mir ist schon klar, dass man den Betrag nehmen muss, um überhaupt eine Ordnungsrelation <> im Komplexen zu erhalten. Aber trotzdem kann der Betrag doch nicht kleiner 0 sein? (nicht signierter Beitrag von 95.117.133.176 (Diskussion) 14:39, 15. Aug. 2011 (CEST))

Nein, es wird nicht gefolgert, dass C kleiner Null sein muss. "Nicht positiv" ist entweder negativ oder gleich Null. Letzteres führt zur Nullstelle.--LutzL 11:02, 16. Aug. 2011 (CEST)

Wo wird gefolgert, dass C kleiner 0 sein muss? Es wird lediglich gesagt, dass C nicht größer als 0 sein kann. Da aber C>=0, folgt daraus C=0 und damit die Existenz einer Nullstelle. --mfb 11:37, 16. Aug. 2011 (CEST)

Abschnitt: Polynome mit rein reellen Koeffizienten

Im Moment steht da:

[...] Es gilt aber: Ist $w$ eine nichtreelle Nullstelle von P, so ist auch ihr Konjugiertes ${\bar {w}}$ eine Nullstelle von P. Da

$(z-w)\cdot (z-{\bar {w}})=z^{2}-(w+{\bar {w}})\cdot z+w\cdot {\bar {w}}$

ein quadratisches Polynom mit reellen Koeffizienten ist, lässt sich folgern: Jedes reelle Polynom lässt sich in reelle Polynomfaktoren vom Grad eins oder zwei zerlegen. In dieser Form wurde der Satz 1799 von Carl Friedrich Gauß im Rahmen seiner Doktorarbeit formuliert [...]

Ich finde, man könnte ruhig in der Formel deutlich machen dass es reelle Koeffizienten sind. Wenn man noch nicht so in der Thematik steht sieht man es evtl. nicht sofort. Außerdem finde ich die Folgerung noch nicht ganz logisch. Ein Vorschlag von mir wäre so, für meine Begriffe verständlicher formuliert:

[...] Es gilt aber: Ist $w$ eine nichtreelle Nullstelle von P, so ist auch ihr Konjugiertes ${\bar {w}}$ eine Nullstelle von P. Dabei werden $w$ und ${\bar {w}}$ je als einfache Nullstelle gezählt. Das lässt sich in faktorisierter Schreibweise des Polynoms durch die beiden Linearfaktoren $(z-w)(z-{\bar {w}})$ ausdrücken. Gleichwertig dazu ist die Darstellung als Polynom zweiten Grades mit reellen Koeffizienten:

$(z-w)(z-{\bar {w}})=z^{2}-(w+{\bar {w}})z+w\cdot {\bar {w}}=z^{2}-2\operatorname {Re} (w)\cdot z+|w|^{2}$

Daraus folgt im Umkehrschluss, dass sich jedes reelle Polynom sich in reelle Polynomfaktoren vom Grad eins oder zwei zerlegen lässt. In dieser Form wurde der Satz 1799 von Carl Friedrich Gauß im Rahmen seiner Doktorarbeit formuliert [...]

Ist das mathematisch sauber formuliert, und stimmt die Referenz zu Gauß so noch?