Gauß-Jordan-Algorithmus

Der Gauß-Jordan-Algorithmus ist eine Erweiterung des Gaußschen Eliminationsverfahrens, welcher es ermöglicht die Lösungen aus einer Koeffizientenmatrix direkt abzulesen. Dem Algorithmus geht der Satz voraus, dass sich jede Matrix durch elementare Zeilenumordnungen auf Zeilennormalform transformieren lässt.

Benannt ist er nach Carl Friedrich Gauß und Wilhelm Jordan.

Umformungsschritte

1. Man sucht in der ersten Spalte ein von Null verschiedenes Element und vertauscht ggf. diese Zeilen, sodass an der Position (1,1) ein von :Null verschiedenes Element steht.

2. Man dividiere die erste Zeile durch dieses von Null verschiedene Element.

3. Man subtrahiere von den übrigen Zeilen entsprchende Vielfache der ersten Zeile mit dem Ziel, dass die erste Spalte der Matrix die Form

S = (1 0 . . . 0) besitzt.

Dieses Verfahren wir mit der Restmatrix fortgesetzt.

Ziehe danach von den darüberliegenden Zeilen entsprechende Vielfache ab, sodass über einer führenden 1 nur Nullen stehen.

Beispiel

Eine Parabel soll durch folgende Punkte laufen:

(x, y) = (1; 0) ,
(x, y) = (2; 1) ,
(x, y) = (3; 3) .

Die allgemeine Grundgleichung der Parabel lautet:

ax^{2}+bx+c=y

.

Durch Einsetzen jeweils eines x-y-Paares ergeben sich drei Gleichungen:

a+b+c=0

;

4a+2b+c=1

;

9a+3b+c=3

.

Die drei Gleichungen enthalten drei Unbekannte, wodurch das Gleichungssystem lösbar wird. Anstatt nun durch Einsetzen und Gleichsetzen zu lösen, werden die Faktoren in eine Matrix geschrieben und die Matrix so umgeformt, dass man die Lösung ablesen kann.

In der ersten Spalte stehen die Faktoren der Variable a, in der zweiten die der Variable b, in der dritten die der Variable c und letztendlich die Faktoren der anderen Gleichungsseite: