Unendlichkeit

∞

Die Unendlichkeit ist ein der direkten menschlichen Erfahrung fremdes Phänomen. Sie kann nur abstrakt in der Vorstellung entwickelt werden und wird auf Objekte, die keine räumlichen oder zeitlichen Grenzen besitzen, angewendet. Beispielsweise ist ein unendlich ausgedehnter Weltraum vorstellbar; auch kann man sich zeitlich nicht begrenzte Dinge vorstellen. In der modernen Physik kennt man das Phänomen der Singularität im Zusammenhang mit Schwarzen Löchern und dem Urknall: eine Singularität ist ein Punkt in der Raumzeit, an dem Masse in einem Punkt ohne Ausdehnung mit unendlicher Dichte konzentriert ist. Schwarze Löcher wurden indirekt bereits nachgewiesen (wie ihr Name sagt kann man sie direkt nicht nachweisen, allerdings sind ihre Auswirkungen messbar).

Andererseits wird die Vorstellbarkeit der Unendlichkeit in der Natur auch bezweifelt, siehe hierzu auch Unendlichkeit (Philosophie).

In der Mathematik und Physik werden unendliche Werte durch das Symbol ∞, eine auf der Seite liegende 8, dargestellt. Es wurde vom englischen Mathematiker John Wallis 1655 als Zeichen für eine unendliche Größe eingeführt. Ursprünglich wurde ∞ im alten Rom als Zeichen für die Zahl 1000 verwendet. Anderen Deutungen zufolge entstand es aus dem kleinen griechischen Buchstaben ω (Omega).

Neben der unendlichen Ausdehnung zu immer größeren Größen wird auch die unendliche Teilbarkeit, das unendlich Feine betrachtet, dessen Grenze Null ist, Null aber nicht erreicht. Aus der Negation des unendlich Feinen und deren Paradoxien ergab sich die ursprüngliche griechische „Atomtheorie“ des „Unteilbaren“.

Unendlichkeit in der Mathematik

Die Mathematik kennt den Begriff "Unendlich" in verschiedenen Teildisziplinen. Diese unterschiedlichen „Unendlichkeiten“ haben jeweils ihre eigenen Eigenschaften, und die Unendlichkeitbegriffe sind nicht austauschbar. Die Begriffe sind manchmal sehr unanschaulich und bereiten Nichtmathematikern deshalb Schwierigkeiten. Es kann helfen, wenn man sich klar macht, dass die Mathematik in der Regel keine Aussagen darüber macht, was Unendlichkeit "in Wirklichkeit" ist. Stattdessen werden Regeln für die Manipulation von Symbolen aufgestellt.

Siehe auch: endliche und unendliche Menge

Analysis

Das Symbol ∞ wird in der Analysis verwendet, um anzuzeigen, dass eine Folge reeller Zahlen oder eine andere reellwertige Funktion über alle Grenzen wächst. Siehe dazu Konvergenz und Limes. Für ∞ gelten einige Rechenregeln, die jedoch stets als Aussagen über (uneigentliche) Grenzwerte zu betrachten sind.

Unter anderem gilt die Rechenregel: für jede reelle Zahl $a$: $a+\infty =\infty$

Präziser formuliert meint dies folgendes: Sind $(a_{n})$ und $(b_{n})$ zwei Folgen reeller Zahlen, so dass $(a_{n})$ gegen $a$ konvergiert und $(b_{n})$ über alle Grenzen wächst

(in Zeichen: $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a,\quad \lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty$)

dann gilt für die Folge $(a_{n}+b_{n})$, dass sie über alle Grenzen wächst,

(also $\lim _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})=\infty .$)

Daraus folgt allerdings, dass für das Symbol ∞ manche für Zahlen konstituierende Rechenregeln nicht gelten können, dass es sich dabei also nicht um eine Zahl handeln kann: Denn könnte man z.B. von einer Gleichung "∞" subtrahieren, dann würde aus der oben genannten Regel (etwa für $a=1$, also aus $1+\infty =\infty$) der Widerspruch $1=0$ folgen.

Merkregel: Unendlich ist keine Zahl!

Für viele Zwecke in der (reellen) Analysis ist es angebracht, zwischen +∞ und −∞ zu unterscheiden. Dieser Zweig der Mathematik benutzt also zwei unendliche Elemente.

Topologie

Mit Methoden der Topologie ist es möglich, den Grenzwertbegriff so zu fassen, dass der umgangssprachliche Sinn von "Unendlichkeit" vollständig eliminiert wird.

Dazu wird die Menge $\mathbb {R}$ erweitert zu einer Menge ${\bar {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{+\infty ,-\infty \}$. Auf ${\bar {\mathbb {R} }}$lässt sich eine Topologie so definieren, dass Funktionen, die in $\mathbb {R}$gegen Unendlich streben, in ${\bar {\mathbb {R} }}$eine stetige Fortsetzung haben.

Funktionentheorie

In der Theorie der komplexwertigen Funktionen einer komplexen Variablen (Funktionentheorie) erweist es sich, anders als bei den reellen Zahlen, als günstig, nur einen mit ∞ bezeichneten Grenzwert zu verwenden. Es wird festgesetzt:

Wächst in der komplexen Zahlenebene bei einer Zahlenfolge (z.B. bei gleich bleibendem Argument) der Betrag über alle Grenzen, so wird als Grenzwert einer solchen Folge stets das gleiche Element ∞ verwendet.

Die komplexe Zahlenebene schließt sich damit zu einer Kugel (Riemannsche Zahlenkugel). "∞" ist der Gegenpol zur Zahl Null.

Hinweis: Auch in anderen Zusammenhängen ist es praktisch, nur einen unendlichen Wert zu verwenden. So ist z.B. ist die Steigung einer Geraden entweder eine reelle Zahl oder "Unendlich". (Ein Vorzeichen ergäbe hierbei keinen Sinn).

projektive Geometrie

Bei der Erweiterung einer affinen Ebene zu einer projektiven Ebene werden "unendlich ferne Punkte" (Fernpunkte) hinzugefügt, die als Schnittpunkte der (bis dahin) parallelen Geraden dienen. ("Parallelen schneiden sich im Unendlichen.") Für jede Richtung, die Geraden haben können, wird genau ein neuer Punkt definiert. Die Gesamtheit dieser "unendlich fernen" Punkte heißt die "unendlich ferne Gerade".

Bei diesem Vorgehen entstehen genau so viele unendliche Objekte, wie eine Gerade Punkte hat (zuzüglich einem, nämlich der unendlich fernen Geraden). Je nachdem, von welcher affinen Ebene ausgegangen wird, kann diese Anzahl endlich oder unendlich sein. Ausgehend von der üblichen euklidischen Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ ergeben sich so viele "unendlich ferne Punkte", wie es reelle Zahlen gibt.

Auch hier dient der Begriff "unendlich" nur dazu, die formale Definition zu motivieren. Werden projektive Ebenen ohne Bezug auf eine affine Ebene betrachtet, so spielt dieser Begriff keine Rolle.

Andererseits ist die Begriffsbildung auch sehr anschaulich: In der Perspektivenkonstruktion sieht man, dass alle Geraden, die "in Wirklichkeit" dieselbe Richtung haben, sich im perspektivischen Bild im selben Fluchtpunkt schneiden.

Arithmetik mit Unendlich

Im folgenden werden einige grundlegende Arithmetische Operationen aufgelistet, die auf Unendlich angewedet werden können.

Operationen zwischen Unendlich mit Unendlich

Da Unendlich außerhalb der euklidischen Zahlenebene liegt, gilt:

${\,}-\infty <x<\infty \,\forall x\in \mathbb {R}$

Wenn man zu Unendlich eine Zahl addiert oder subrahiert erhält man wieder Unendlich:

$\infty \pm x\to \infty \,\forall x\in \mathbb {R}$

Unendlich plus Unendlich ergibt erneut Unendlich:

$\infty +\infty \to \infty \,$

$-\infty -\infty \to -\infty \,$, da $-x-x=-(x+x)$

Operationen mit Unendlich und rellen Zahlen

Eine positive Zahl $x_{+}\in \mathbb {R_{+}}$ multipliziert mit Unendlich ergibt Unendlich.

$x_{+}\cdot \infty \to \infty$

$x_{+}\cdot -\infty \to -\infty$

$-x_{+}\cdot \infty \to -\infty$

$-x_{+}\cdot -\infty \to \infty$

Eine Zahl geteilt durch Unendlich ergibt Null:

${\frac {x}{\infty }}={\frac {x}{-\infty }}\to 0$

Umgekehrt gilt:

${\frac {x}{0}}\to \infty$

Hierbei gilt es zu beachten, dass die Gleichung ${\frac {x}{\infty }}=0$ nicht in die Gleichung $0\cdot \infty =x$ umgewandelt werden kann, da Null mal Unendlich undefiniert ist.

Undefinierte Operationen

Die folgenden Operationen sind undefiniert:

1. $0\cdot \pm \infty$
2. $\infty -\infty \,$
3. $\pm {\frac {\infty }{\infty }}$
4. $\pm \infty ^{0}\,$
5. $1^{\pm \infty }\,$

Der Grund dafür ist, dass man Beispielsweise die Gleichung ${\frac {\infty }{\infty }}$ mit Hilfe von zwei unterschiedlich konvergierenden Folgen ausdrücken kann:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$

Abhängig von der Art der gewählten Folge erhält man unterschiedliche Ergebnisse. Im gegebenen Beispiel erhält man Beispielsweise:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{n^{2}}}\to 0$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{n}}\to 1$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{2}}{n}}\to \infty$

Zitate

• „So protestiere ich gegen den Gebrauch einer unendlichen Größe als einer vollendeten, welche in der Mathematik niemals erlaubt ist. Das Unendliche ist nur eine Façon de parler...“ (Carl Friedrich Gauß)

• „Zwei Dinge sind unendlich: Das Universum und die menschliche Dummheit – Beim Universum bin ich mir noch nicht ganz sicher.“ (Albert Einstein)
• „Unser erkennender Geist spannt sich, indem er etwas erkennt, ins Unendliche aus.“ (Thomas von Aquin)
• „Das Unendliche ist weit, vor allem gegen Ende.“ (Alphonse Allais)
• „Finitum non capax infinitum – Das Endliche vermag das Unendliche nicht zu fassen.“ (John Calvin)

Siehe auch

Infinitesimal, Limes

potenzielle und aktuale Unendlichkeit

Null (Zahl)

Ewigkeit, Augustinus von Hippo, Äon (Theologie)

Referenzen

Literatur

• Amir D. Aczel: Die Natur der Unendlichkeit. Mathematik, Kabbala und das Geheimnis des Aleph. rororo Taschenbücher, 2002 ISBN 3-499-61358-1
• Herbert Beckert: Zur Erkenntnis des Unendlichen. Hirzel, Stuttgart 2001 ISBN 3-7776-1136-0 (Abhandlungen der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig)
• Albrecht Beutelspacher: Pasta all'infinito. Meine italienische Reise in die Mathematik. dtv Taschenbücher, 2001 ISBN 3-423-33069-4
• Rudolf Taschner: Das Unendliche. Mathematiker ringen um einen Begriff. Springer Verlag, 1995 ISBN 3-540-59093-5

Weblinks

• Projekt Unendlichkeit