Satz von der majorisierten Konvergenz

Der Satz von der majorisierten Konvergenz (auch Satz von der majorisierenden Konvergenz oder Satz von der dominierten Konvergenz ) ist eine zentrale Grenzwertaussage in der Maß- und Integrationstheorie und geht auf den französischen Mathematiker Henri Léon Lebesgue zurück.

Er besagt im wesentlichen, dass die Grenzfunktion einer $\varphi$-fast-überall konvergenten Folge von $\varphi$-integrierbaren Funktionen auf einem Maßraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},\varphi )$, selbst wieder $\varphi$-integrierbar ist, wenn die Folgenglieder von einer positiven $\varphi$-integrierbaren Funktion g majorisiert (oder "dominiert") werden. Dabei konvergiert die Folge der Integrale der Folgenglieder gegen das Integral des Grenzfunktion.

Der Satz bedeutet auch, dass in solch einem Fall die Integralbildung und die Grenzwertbildung vertauscht werden können.

Der Satz formal in seiner allgemeinsten Form

Sei $(\Omega ,{\mathcal {A}},\varphi )$ ein Maßraum und sei $\left(f_{n}\right)$ eine Folge von Funktionen, die auf $\,\Omega$ $\varphi$-integrierbar sind.

Die Folge $\left(f_{n}\right)$ werde von einer positiven $\varphi$-integrierbaren Funktion $\,g$ auf $\,\Omega$ majorisiert, d.h., $\forall k\in \mathbb {N} :\quad \mid f_{k}\mid \leq g\quad ,\varphi {\rm {-fast\,{\ddot {u}}berall}}$.

Dann konvergiert $\left(f_{n}\right)$ $\varphi$-fast überall gegen eine $\varphi$-integrierbare Funktion $\,f$ und es gilt:

<center">$\int {f_{n}}d\varphi \rightarrow \int {f}d\varphi$ für $n\rightarrow \infty$