Ersetzungsaxiom

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Das Ersetzungsaxiom ist ein Axiom, das Abraham Fraenkel 1921 als Ergänzung zur Zermelo-Mengenlehre von 1907 vorschlug und später ein fester Bestandteil der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF wurde. Es besagt informell, dass die Bilder von Mengen ebenfalls Mengen sind. In der prädikatenlogischen Sprache wird das Ersetzungsaxiom präzisiert als Axiomenschema, das unendlich viele Axiome umfasst. Daher wird es heute auch oft als Ersetzungsschema bezeichnet.

Präzisierung

Ersetzungsaxiom für jedes zweistellige Prädikat $E(x,y)$:

$\forall x,y,z\colon (E(x,y)\land E(x,z)\Rightarrow y=z)\Rightarrow \forall A\colon \exists M\colon \forall y\colon (y\in M\iff \exists x\colon (x\in A\land E(x,y)))$

Die Voraussetzung des Axioms besagt, dass das zweistellige Prädikat $E(x,y)$ rechtseindeutig ist, das heißt zu jedem $x$ gibt es höchstens ein $y$ mit $E(x,y)$. Die im Ersetzungsaxiom gebildete Menge ist aufgrund des Extensionalitätsaxioms eindeutig bestimmt und wird als $\{y\mid \exists x\in A:E(x,y)\}$ notiert.

Bedeutung

Das Ersetzungsaxiom füllt eine Lücke der Zermelo-Mengenlehre. Fraenkel entdeckte nämlich 1921, dass man mit Zermelos Axiomen gewisse abzählbare Mengen der Mengenlehre von Georg Cantor nicht konstruieren kann, und ergänzte daher sein Axiom, mit der jede abgebildete Menge und insbesondere jede Abzählung durch die Menge der natürlichen Zahlen eine Menge wird. Dieselbe Lücke benannte ein Jahr später auch Thoralf Skolem und gab eine präzisere Formalisierung dazu an. Dieses Axiom integrierte Zermelo 1930 in sein ZF-System und bemerkte dazu, dass aus dem Ersetzungsaxiom das Aussonderungsaxiom und das Paarmengenaxiom ableitbar sind, so dass diese älteren Axiome der Zermelo-Mengenlehre im ZF-System entbehrlich werden.

Einzelnachweise

Axiome und Axiomenschemata der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

Axiome: Extensionalitätsaxiom | Fundierungsaxiom | Leermengenaxiom | Paarmengenaxiom | Vereinigungsaxiom | Potenzmengenaxiom | Unendlichkeitsaxiom | Auswahlaxiom

Axiomenschemata: Aussonderungsaxiom | Ersetzungsaxiom