Hyperbel (Mathematik)

In der ebenen Geometrie versteht man unter einer Hyperbel eine spezielle Kurve, die aus zwei zueinander symmetrischen, sich ins Unendliche erstreckenden Ästen besteht. Sie zählt neben dem Kreis, der Parabel und der Ellipse zu den Kegelschnitten, die beim Schnitt einer Ebene mit einem geraden Kreiskegel entstehen (s. Bild).

Die Hyperbel ist einer der Kegelschnitte.

Datei:Brazil.Brasilia.01.jpg

Hyperbel in der Architektur: Kathedrale von Brasilia

Wie Ellipse und Parabel lassen sich Hyperbeln als Ortskurven in der Ebene definieren (s. Abschnitt Definition).

Die Hyperbel wurde von Menaichmos entdeckt. Die von Apollonios von Perge eingeführte Bezeichnung kommt aus dem Griechischen und bezieht sich auf die Übertreibung (ὑπερβολή, hyperbolé, von altgriechisch βάλλειν bállein „werfen“, ὑπερβάλλειν hyperballein „über das Ziel hinaus werfen“) des Schnittwinkels (oder der numerischen Exzentrizität $\varepsilon$, s. unten) beim Kegelschnitt: Mit steigendem Schnittwinkel verwandelt sich der Kreis ($\varepsilon$ = 0) erst zu immer länglicheren Ellipsen und dann über die Parabel ($\varepsilon$ ist 1 und die schneidende Ebene parallel zu einer Tangentialebene des Kegels) zu Hyperbeln mit $\varepsilon$ > 1.

Definition einer Hyperbel als Ortskurve

Hyperbel: Definition und Asymptoten

Eine Hyperbel ist definiert als die Menge aller Punkte $P$ der Zeichenebene $E^{2}$ , für die die absolute Differenz der Abstände zu zwei gegebenen Punkten, den so genannten Brennpunkten $F_{1}$ und $F_{2}$, konstant gleich $2a$ ist:

$H=\{P\in E^{2}\mid ||PF_{2}|-|PF_{1}||=2a\}$.

Der Mittelpunkt $M$ der Brennpunkte heißt Mittelpunkt der Hyperbel. Die Verbindungsgerade der Brennpunkte ist die Hauptachse der Hyperbel. Die beiden Hyperbelpunkte $S_{1},S_{2}$ auf der Hauptachse sind die Scheitel und haben den Abstand $a$ vom Mittelpunkt. Der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt heißt Brennweite oder lineare Exzentrizität und wird üblicherweise mit $e$ bezeichnet. Die in der Einleitung erwähnte, dimensionslose numerische Exzentrizität $\varepsilon$ ist ${\tfrac {e}{a}}$.

Dass der Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene, die a) steiler ist als die Mantellinien des Kegels und b) die Kegelspitze nicht enthält, zeigt man, indem man die obige definierende Eigenschaft einer Hyperbel mit Hilfe der Dandelinschen Kugeln nachweist (s. Abschnitt Hyperbel als Kegelschnitt).

Hyperbel in 1. Hauptlage

Gleichung

Die Gleichung der Hyperbel erhält eine besonders einfache Form, wenn sie in "1. Hauptlage" liegt, das heißt, dass die beiden Brennpunkte auf der $x$-Achse symmetrisch zum Ursprung liegen; bei einer Hyperbel in 1. Hauptlage haben also die Brennpunkte die Koordinaten $(e,0)$ und $(-e,0)$, und die Scheitel haben die Koordinaten $(a,0)$ und $(-a,0)$.

Für einen beliebigen Punkt $(x,y)$ in der Ebene ist der Abstand zum Brennpunkt $(e,0)$ gleich ${\sqrt {(x-e)^{2}+y^{2}}}$ und zum anderen Brennpunkt ${\sqrt {(x+e)^{2}+y^{2}}}$. Der Punkt $(x,y)$ liegt also genau dann auf der Hyperbel, wenn die Differenz dieser beiden Ausdrücke gleich $2a$ oder gleich $-2a$ ist.

Durch algebraische Umformungen und mit der Abkürzung $b^{2}=e^{2}-a^{2}$ kann man zeigen, dass die Gleichung

${\sqrt {(x-e)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x+e)^{2}+y^{2}}}=\pm 2a$

zur Gleichung

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

äquivalent ist. Letztere Gleichung nennt man die Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage.

Scheitel

Eine Hyperbel besitzt nur zwei Scheitel: $(a,0),(-a,0)$. Im Gegensatz zur Ellipse sind hier $(0,b),(0,-b)$ keine Kurvenpunkte. Letztere werden deswegen auch imaginäre Nebenscheitel genannt. Die Gerade durch die Nebenscheitel heißt Nebenachse. Die Hyperbel liegt symmetrisch zur Haupt- und Nebenachse.

Asymptoten

Hyperbel: Halbachsen a,b , lin. Exzentrizität e, Halbparameter p

Löst man die Hyperbelgleichung nach y auf, so erhält man

$y=\pm b{\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}$ .

Hier erkennt man, dass sich die Hyperbel für betragsmäßig große x an die Geraden

$y=\pm {\frac {b}{a}}x$

beliebig dicht annähert. Diese Geraden gehen durch den Mittelpunkt und heißen die Asymptoten der Hyperbel ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ .

Parameter p

Die halbe Länge einer Hyperbelsehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter (manchmal auch Quermaß oder nur Parameter) $p$ der Hyperbel. Er lässt sich berechnen durch

$p={\frac {b^{2}}{a}}.$

Weitere Bedeutung von p:

$p$ ist der Scheitelkrümmungskreisradius,

d.h. p ist der Radius desjenigen Kreises durch einen Scheitel, der sich an die Hyperbel im Scheitel am besten anschmiegt. (Siehe unten: Formelsammlung/Scheitelgleichung)

Tangente

Die Gleichung der Tangente in einem Hyperbelpunkt $(x_{B},y_{B})$ findet man am einfachsten durch implizites Differenzieren der Hyperbelgleichung ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$:

${\frac {2x}{a^{2}}}-{\frac {2yy'}{b^{2}}}=0\ \rightarrow \ y'={\frac {x}{y}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\ \rightarrow \ y={\frac {x_{B}}{y_{B}}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}(x-x_{B})+y_{B}\ .$

Unter Berücksichtigung von ${\tfrac {x_{B}^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y_{B}^{2}}{b^{2}}}=1$ ergibt sich $:\quad {\frac {x_{B}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{B}y}{b^{2}}}=1\ .$

gleichseitige Hyperbel

Eine Hyperbel, für die $a=b$ gilt, heißt gleichseitige Hyperbel. Ihre Asymptoten stehen senkrecht aufeinander. Die lineare Exzentrizität ist $e={\sqrt {2}}a$, die numerische Exzentrizität $\varepsilon ={\sqrt {2}}$ und der Halbparameter ist $p=a$.

Parameterdarstellung mit Hyperbelfunktionen

Mit den Hyperbelfunktionen $\cosh ,\sinh$ ergibt sich eine (zur Ellipse analoge) Parameterdarstellung der Hyperbel ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ :

$(\pm a\cosh t,b\sinh t),t\in \mathbb {R}$.

Hyperbel in 2. Hauptlage

Vertauscht man x und y, so erhält man Hyperbeln in 2. Hauptlage:

${\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$.

Hyperbel als Kegelschnitt

Hyperbel (rot): Auf- und Seitenriss eines Kegels mit Dandelinschen Kugeln d1,d2

Schneidet man einen senkrechten Kreiskegel mit einer Ebene $\pi$, deren Neigung größer als die Neigung der Mantellinien des Kegels ist und die nicht durch die Kegelspitze geht, so ergibt sich eine Hyperbel als Schnittkurve (s. Bild, rote Kurve). Den Nachweis der definierenden Eigenschaft bzgl. der Brennpunkte (s. oben) führt man mit Hilfe zweier Dandelin'schen Kugeln $d_{1},d_{2}$, das sind Kugeln, die den Kegel in Kreise $c_{1}$ bzw. $c_{2}$ und die Hyperbel-Ebene in Punkten $F_{1}$ bzw. $F_{2}$ berühren. Es stellt sich heraus, dass $F_{1},F_{2}$ die Brennpunkte der Schnitthyperbel sind.

1. $P$ sei ein beliebiger Punkt der Schnittkurve.
2. Die Mantellinie durch $P$ schneidet den Kreis $c_{1}$ in einem Punkt $A$ und den Kreis $c_{2}$ in einem Punkt $B$.
3. Die Strecken ${\overline {PF_{1}}}$ und ${\overline {PA}}$ sind tangential zur Kugel $d_{1}$ und damit gleich lang.
4. Die Strecken ${\overline {PF_{2}}}$ und ${\overline {PB}}$ sind tangential zur Kugel $d_{2}$ und damit auch gleich lang.
5. Also ist $:\ |PF_{1}|-|PF_{2}|=|PA|-|PB|=|AB|$ und damit unabhängig vom Hyperbelpunkt $P$.

Leitlinien-Eigenschaft

Hyperbel: Leitlinien-Eigenschaft

Mit dem Begriff Direktrix oder Leitlinie bezeichnet man die beiden Parallelen zur Nebenachse im Abstand $d={\tfrac {a^{2}}{e}}$. Für einen beliebigen Punkt $P$ der Hyperbel ist das Verhältnis zwischen den Abständen zu einem Brennpunkt und zur zugehörigen Leitlinie gleich der numerischen Exzentrizität:

• ${\frac {|PF_{1}|}{|Pl_{1}|}}={\frac {|PF_{2}|}{|Pl_{2}|}}=\varepsilon ={\frac {e}{a}}.$

Zum Beweis zeigt man, dass für $|PF_{1}|^{2}=(x-e)^{2}+y^{2},\ |Pl_{1}|^{2}=(x-{\tfrac {a^{2}}{e}})^{2}$ und $y^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}$ die Gleichung

$|PF_{1}|^{2}-{\tfrac {e^{2}}{a^{2}}}|Pl_{1}|^{2}=0$ erfüllt ist.

Umgekehrt kann man einen Punkt (als Brennpunkt) und eine Gerade (als Leitlinie) sowie eine reelle Zahl $\varepsilon$ mit $\varepsilon >1$ vorgeben und eine Hyperbel definieren als

• Menge aller Punkte der Ebene, für die das Verhältnis der Abstände zu dem Punkt und zu der Geraden gleich $\varepsilon$ ist.

(Wählt man $\varepsilon =1$, so erhält man eine Parabel. Für $\varepsilon <1$ ergibt sich eine Ellipse.)

Zum Beweis geht man von $F_{1}=(f,0),\varepsilon >0$ und der Vorgabe, dass $(0,0)$ ein Kurvenpunkt ist, aus. Die Leitlinie $l_{1}$ wird dann durch die Gleichung $x=-{\tfrac {f}{\varepsilon }}$ beschrieben. Für $P=(x,y)$ folgt aus $|PF_{1}|^{2}=\varepsilon ^{2}|Pl_{1}|^{2}\ :$

$(x-f)^{2}+y^{2}=\varepsilon ^{2}(x+{\tfrac {f}{e}})^{2}=(\varepsilon x+f)^{2}$ und hieraus $x^{2}(\varepsilon ^{2}-1)+2xf(1+\varepsilon )-y^{2}=0\ .$

Mit der Abkürzung $p=f(1+\varepsilon )$ erhält man

$x^{2}(\varepsilon ^{2}-1)+2px-y^{2}=0\ .$

Dies ist die Scheitelgleichung einer Ellipse ($\varepsilon <1$), einer Parabel ($\varepsilon =1$) oder einer Hyperbel ($\varepsilon >1$). Siehe Abschnitt Formelsammlung.
Führt man im Fall $\varepsilon >1$ neue Konstanten $a,b$ so ein, dass $\varepsilon ^{2}-1={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}$ ist, so geht die Scheitelgleichung in

${\tfrac {(x+a)^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ über.

Dies ist die Gleichung einer Hyperbel mit Mittelpunkt $(-a,0)$, x-Achse als Hauptachse und Halbachsen $a,b$.

Hyperbel als affines Bild der Einheitshyperbel

Hyperbel als affines Bild der Einheitshyperbel

Eine andere Definition der Hyperbel benutzt eine spezielle geometrische Abbildung, nämlich die Affinität. Hier ist die Hyperbel als affines Bild der Einheitshyperbel $x^{2}-y^{2}=1$ definiert. Eine affine Abbildung in der reellen Ebene hat die Form ${\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}$, wobei $A$ eine reguläre Matrix (Determinante nicht 0) und ${\vec {f}}_{0}$ ein beliebiger Vektor ist. Sind ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$ die Spaltenvektoren der Matrix $A$, so wird die Einheitshyperbel $(\pm \cosh t,\sinh t),t\in \mathbb {R} ,$ auf die Hyperbel

${\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}\cosh t+{\vec {f}}_{2}\sinh t$

abgebildet. ${\vec {f}}_{0}$ ist der Mittelpunkt, ${\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}$ ein Punkt der Hyperbel und ${\vec {f}}_{2}$ Tangentenvektor in diesem Punkt. ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$ stehen i.a. nicht senkrecht aufeinander. D.h. ${\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}$ sind i.a. nicht die Scheitel der Hyperbel. Aber ${\vec {f}}_{1}\pm {\vec {f}}_{2}$ sind die Richtungsvektoren der Asymptoten. Diese Definition einer Hyperbel liefert eine einfache Parameterdarstellung einer beliebigen Hyperbel.

Da in einem Scheitel die Tangente zum zugehörigen Hyperbeldurchmesser senkrecht steht und die Tangentenrichtung in einem Hyperbelpunkt ${\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}\sinh t+{\vec {f}}_{2}\cosh t$ ist, ergibt sich der Parameter $t_{0}$ eines Scheitels aus der Gleichung

${\vec {p}}'(t)\cdot ({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0})=({\vec {f}}_{1}\sinh t+{\vec {f}}_{2}\cosh t)\cdot ({\vec {f}}_{1}\cosh t+{\vec {f}}_{2}\sinh t)=0$

und damit aus $\coth(2t_{0})=-{\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}+{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}$ zu

$t_{0}={\tfrac {1}{4}}\ln {\tfrac {({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2})^{2}}{({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})^{2}}}\ .$

(Es wurden die Formeln $\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=\cosh 2x,\ 2\sinh x\cosh x=\sinh 2x,\ \mathrm {arcoth} \,x={\tfrac {1}{2}}\ln {\tfrac {x+1}{x-1}}$ benutzt.)

Falls ${\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}=0\$ ist, ist $t_{0}=0$ und die Parameterdarstellung schon in Scheitelform !

Die 2 Scheitel der Hyperbel sind ${\vec {f}}_{0}\pm ({\vec {f}}_{1}\cosh t_{0}+{\vec {f}}_{2}\sinh t_{0})\ .$

Aus

${\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {p}}(t-t_{0}+t_{0})={\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}\cosh((t-t_{0})+t_{0})+{\vec {f}}_{2}\sinh((t-t_{0})-t_{0})$

und den Additionstheoremen für die Hyperbelfunktionen ergibt sich die Scheitelform der Parameterdarstellung der Hyperbel:

${\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}\pm ({\vec {f}}_{1}\cosh t_{0}+{\vec {f}}_{2}\sinh t_{0})\cosh(t-t_{0})+({\vec {f}}_{1}\sinh t_{0}+{\vec {f}}_{2}\cosh t_{0})\sinh(t-t_{0})\ .$

Beispiele:

Hyperbel als Graph der Funktion y=1/x (Beispiel 3)

Hyperbel: Transformation auf Scheitelform (Beispiel 5)

1. ${\vec {f}}_{0}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}},\ {\vec {f}}_{1}={\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}},\ {\vec {f}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\b\end{pmatrix}}$ liefert die übliche Parameterdarstellung der Hyperbel mit der Gleichung ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1:\quad {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\begin{pmatrix}a\cosh t\\b\sinh t\end{pmatrix}}\ .$
2. ${\vec {f}}_{0}={\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{pmatrix}},\ {\vec {f}}_{1}={\begin{pmatrix}a\cos \varphi \\a\sin \varphi \end{pmatrix}},\ {\vec {f}}_{2}={\begin{pmatrix}-b\sin \varphi \\b\cos \varphi \end{pmatrix}}$ liefert die Parameterdarstellung der Hyperbel, die aus der Hyperbel ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ durch Drehung um den Winkel $\varphi$ und anschließende Verschiebung um ${\vec {f}}_{0}$ hervorgeht. Die Parameterdarstellung ist schon in Scheitelform. D.h. ${\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}$ sind die Scheitel der Hyperbel.
3. ${\vec {f}}_{0}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}},\ {\vec {f}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},\ {\vec {f}}_{2}={\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$ liefert die Hyperbel mit der Gleichung $y={\tfrac {1}{x}}\ .$ (Beim Nachweis von $xy=1$ verwende man $\cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1\ .$ )
4. Bildet man die Hyperbel $y={\tfrac {1}{x}}$ mit affinen Abbildungen der Form $(x,y)\to (x+x_{0},ay+y_{0}),a\neq 0,$ ab, so erhält man die Schar $y={\tfrac {a}{x-x_{0}}}+y_{0}$ aller Hyperbeln mit achsenparallelen Asymptoten. Der Mittelpunkt solch einer Hyperbel ist $(x_{0},y_{0})\ .$ Die Besonderheit dieser Hyperbelschar ist, dass sie sich als Funktionsgraphen darstellen lassen.
5. Die Parameterdarstellung

${\vec {x}}={\vec {p}}(t)=\pm {\begin{pmatrix}30\\0\end{pmatrix}}\cosh t+{\begin{pmatrix}-30\\3{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}\sinh t$ einer Hyperbel ist nicht in Scheitelform.

Der Scheitelparameter ergibt sich aus $t_{0}={\tfrac {1}{4}}\ln {\tfrac {({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2})^{2}}{({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})^{2}}}$ zu $t_{0}=\ln 3\ .$

Die Scheitelform der Parameterdarstellung ist:

${\vec {x}}={\vec {p}}(t)=\pm {\begin{pmatrix}\ 10\\4{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}\cosh(t-\ln 3)+{\begin{pmatrix}-10\\5{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}\sinh(t-\ln 3)\ .$

Die Scheitel sind: $(10,4{\sqrt {5}}),(-10,-4{\sqrt {5}})$ und

die Halbachsen: $a=6{\sqrt {5}},\ b=15\ .$

Bemerkung: Sind die Vektoren ${\vec {f}}_{0},{\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$ aus dem $\mathbb {R} ^{3}$, so erhält man eine Parameterdarstellung einer Hyperbel im Raum.

Hyperbel als affines Bild der Hyperbel y=1/x

Da die Einheitshyperbel $x^{2}-y^{2}=1$ zur Hyperbel $y=1/x$ äquivalent ist (s.o.), kann man eine beliebige Hyperbel auch als affines Bild der Hyperbel $y=1/x$ auffassen:

${\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\ t\neq 0.$

$M:{\vec {f}}_{0}$ ist der Mittelpunkt der Hyperbel, ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$ zeigen in Richtung der Asymptoten und ${\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}$ ist ein Punkt der Hyperbel.

Für den Tangentenvektor ergibt sich

${\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}},\ .$

In einem Scheitel steht die Tangente zum zugehörigen Hyperbeldurchmesser senkrecht, d.h. es ist

${\vec {p}}'(t)\cdot ({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0})=({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}})\cdot ({\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}})={\vec {f}}_{1}^{2}t-{\vec {f}}_{2}^{2}{\tfrac {1}{t^{3}}}=0.$

Also ist der Scheitelparameter

$t_{0}=\pm {\sqrt[{4}]{\frac {{\vec {f}}_{2}^{2}}{{\vec {f}}_{1}^{2}}}}\quad .$ Für $|{\vec {f}}_{1}|=|{\vec {f}}_{2}|$ ist $t_{0}=\pm 1$ und ${\vec {f}}_{0}\pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})$ sind die Scheitel der Hyperbel.

Tangentenkonstruktion

Tangenten-Konstruktion: Asymptoten und P gegeben -> Tangente

Der Tangentenvektor kann durch Ausklammern von ${\tfrac {1}{t}}$ so geschrieben werden:

${\vec {p}}'(t)={\tfrac {1}{t}}({\vec {f}}_{1}t-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}),\ .$

D.h. in dem Parallelogramm $M:{\vec {f}}_{0},A:{\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t,B:{\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},P:{\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}$ ist die Diagonale $AB$ parallel zur Tangente im Hyperbelpunkt $P$ (s. Bild). Diese Eigenschaft bietet eine einfache Möglichkeit die Tangente in einem Hyperbelpunkt zu konstruieren.

Bemerkung: Diese Eigenschaft einer Hyperbel ist eine affine Version der 3-Punkte Ausartung des Satzes von Pascal.

Punktkonstruktion

Punkt-Konstruktion: Asymptoten und P1 gegeben -> P2

Eine weitere Eigenschaft einer Hyperbel erlaubt die Konstruktion von Hyperbelpunkten, falls die Asymptoten und ein Punkt der Hyperbel bekannt sind:

Für eine Hyperbel mit der Parameterdarstellung ${\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}$ (Der Mittelpunkt wurde der Einfachheit halber als Nullpunkt angenommen) gilt:

Sind $P_{1}:{\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}},\ P_{2}:{\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}}$ zwei Hyperbelpunkte, so liegen die Punkte

$A:{\vec {a}}={\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}},\ B:{\vec {b}}={\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}}$ auf einer Gerade durch den Mittelpunkt (s. Bild).

Der einfache Beweis ergibt sich aus: ${\tfrac {1}{t_{2}}}{\vec {a}}={\tfrac {1}{t_{1}}}{\vec {b}}$.

Bemerkung: Diese Eigenschaft einer Hyperbel ist eine affine Version der 4-Punkte Ausartung des Satzes von Pascal.

Tangenten-Asymptoten-Dreieck

Hyperbel: Tangenten-Asymptoten-Dreieck

Für die folgenden Überlegungen, nehmen wir der Einfachheit halber an, dass der Mittelpunkt sich im Nullpunkt (0,0) befindet und dass die Vektoren ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$ die gleiche Länge haben. Falls letzteres nicht der Fall sein sollte, wird die Parameterdarstellung zuerst in Scheitelform gebracht (s.o.). Dies hat zur Folge, dass $\pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})$ die Scheitel und $\pm ({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2})$ die Nebenscheitel sind. Also ist $|{\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}|=a$ und $|{\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}|=b$.

Berechnet man die Schnittpunkte der Tangente in dem Hyperbelpunkt ${\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{1}t_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{0}}}$ mit den Asymptoten, so erhält man die beiden Punkte

$C:2t_{0}{\vec {f}}_{1},\ D:{\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}\ .$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $M,C,D$ lässt sich mit Hilfe einer 2x2-Determinante ausdrücken:

$F={\tfrac {1}{2}}|\det(2t_{0}{\vec {f}}_{1},{\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2})|=2|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})|$

(s. Rechenregeln für Determinanten.) $|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})|$ ist der Flächeninhalt der von ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$ aufgespannten Raute. Der Flächeninhalt einer Raute ist gleich der Hälfte des Diagonalenproduktes. Die Diagonalen dieser Raute sind die Halbachsen $a,b$. Also gilt:

Der Flächeninhalt des Dreiecks $M,C,D$ ist unabhängig vom Hyperbelpunkt

$F=ab\ .$

Mittelpunkte paralleler Sehnen

Hyperbel: Die Mittelpunkte paralleler Sehnen liegen auf einer Gerade

Hyperbel: Der Mittelpunkt einer Sehne halbiert auch die Sehne der Asymptoten

Für jede Hyperbel gilt:

• Die Mittelpunkte paralleler Sehnen (s. Bild) liegen auf einer Gerade durch den Mittelpunkt der Hyperbel.

D.h. zu jedem Punktepaar $P,Q$ einer Sehne $s$ gibt es eine Schrägspiegelung an einer Gerade durch den Mittelpunkt der Hyperbel, die die Punkte $P,Q$ vertauscht und die Hyperbel auf sich abbildet. Dabei versteht man unter einer Schrägspiegelung eine Verallgemeinerung einer gewöhnlichen Spiegelung an einer Gerade $m$, bei der alle Strecken Punkt-Bildpunkt zwar parallel aber nicht unbedingt senkrecht zur Spiegelachse $m$ sind.

Den Nachweis dieser Eigenschaft führt man am einfachsten an der Hyperbel $y=1/x$ durch. Da alle Hyperbeln affine Bilder der Einheitshyperbel und damit auch von der Hyperbel $y=1/x$ sind und bei einer affinen Abbildung Mittelpunkte von Strecken in die Mittelpunkte der Bildstrecken übergehen, gilt die obige Eigenschaft für alle Hyperbeln.

Bemerkung: Die Punkte der Sehne $s$ dürfen auch auf verschiedenen Ästen der Hyperbel liegen.

Eine Folgerung dieser Symmetrie ist: Die Asymptoten der Hyperbel werden bei der Schrägspiegelung vertauscht und der Mittelpunkt $M$ einer Hyperbelsehne $PQ$ halbiert auch die zugehörige Strecke ${\overline {P}}\,{\overline {Q}}$ zwischen den Asymptoten, d.h. es ist $|P{\overline {P}}|=|Q{\overline {Q}}|$ . Diese Eigenschaft kann man benutzen, um bei bekannten Asymptoten und einem Punkt $P$ beliebig viele weitere Hyperbelpunkte $Q$ zu konstruieren, indem man die jeweilige Strecke $P{\overline {P}}$ zur Konstruktion von $Q$ verwendet.

Entartet die Sehne $PQ$ zu einer Tangente, so halbiert der Berührpunkt den Abschnitt zwischen den Asymptoten.

Pol-Polare-Beziehung

Hyperbel: Pol-Polare-Beziehung

Eine Hyperbel lässt sich in einem geeigneten Koordinatensystem immer durch eine Gleichung der Form ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ beschreiben. Die Gleichung der Tangente in einem Hyperbelpunkt $P_{0}=(x_{0},y_{0})$ ist ${\tfrac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\tfrac {y_{0}y}{b^{2}}}=1\ .$ Lässt man in dieser Gleichung zu, dass $P_{0}=(x_{0},y_{0})$ ein beliebiger vom Nullpunkt verschiedener Punkt der Ebene ist, so wird

dem Punkt $P_{0}=(x_{0},y_{0})\neq (0,0)$ die Gerade $:\quad {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1$ zugeordnet.

Diese Gerade geht nicht durch den Mittelpunkt der Hyperbel.

Umgekehrt kann man

der Gerade $y=mx+d,\ d\neq 0,$ den Punkt $(-{\frac {ma^{2}}{d}},-{\frac {b^{2}}{d}})$ bzw.

der Gerade $x=c,\ c\neq 0,$ den Punkt $({\frac {a^{2}}{c}},0)$ zuordnen.

Solch eine Zuordnung Punkt <-> Gerade nennt man eine Polarität oder Pol-Polar-Beziehung. Der Pol ist der Punkt, die Polare ist die zugehörige Gerade.

Die Bedeutung dieser Pol-Polare-Beziehung besteht darin, dass die möglichen Schnittpunkte der Polare eines Punktes mit der Hyperbel die Berührpunkte der Tangenten durch den Pol an die Hyperbel sind.

• Liegt der Punkt (Pol) auf der Hyperbel, so ist seine Polare die Tangente in diesem Punkt (s. Bild: $P_{1},\ p_{1}$).
• Liegt der Pol außerhalb der Hyperbel, so sind die Schnittpunkte der Polare mit der Hyperbel die Berührpunkte der Tangenten durch den Pol an die Hyperbel (s. Bild: $P_{2},\ p_{2},\ P_{3},p_{3}$).
• Liegt der Punkt innerhalb der Hyperbel, so hat seine Polare keinen Schnittpunkt mit der Hyperbel (s. Bild: $P_{4},\ p_{4}$).

Zum Beweis: Die Bestimmung der Schnittpunkte der Polaren eines Punktes $(x_{0},y_{0})$ mit der Hyperbel ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ und die Suche nach Hyperbelpunkten, deren Tangenten den Punkt $(x_{0},y_{0})$ enthalten, führen auf dasselbe Gleichungssystem.

Bemerkung:

1. Der Schnittpunkt zweier Polaren (z.B. im Bild: $p_{2},p_{3}$) ist der Pol der Verbindungsgerade der zugehörigen Pole (hier: $P_{2},P_{3}$).
2. Geraden durch den Mittelpunkt der Hyperbel haben keine Pole. Man sagt: "Ihre Pole liegen auf der Ferngerade"
3. Der Mittelpunkt der Hyperbel hat keine Polare, "sie ist die Ferngerade".

Bemerkung: Pol-Polare-Beziehungen gibt es auch für Ellipsen und Parabeln.

Hyperbeln der Form y=a/(x-b)+c

Peripheriewinkelsatz für Hyperbeln

Hyperbeln der Form $y={\frac {a}{x-b}}+c$ sind Funktionsgraphen, die durch die 3 Parameter $a,b,c$ eindeutig bestimmt sind. Man benötigt also 3 Punkte, um diese Parameter zu ermitteln. Eine schnelle Methode beruht auf dem Peripheriewinkelsatz für Hyperbeln.

Hyperbel: Peripheriewinkelsatz

Um einen Winkel zwischen zwei Sehnen zu messen führen wir für zwei Geraden, die weder zur x- noch zur y-Achse parallel sind, ein Winkelmaß ein:

Für zwei Geraden $y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2}\ ,m_{1},m_{2}\neq 0\$ messen wir den zu gehörigen Winkel mit der Zahl ${\frac {m_{1}}{m_{2}}}$.

Zwei Geraden sind parallel, wenn $m_{1}=m_{2}$ und damit das Winkelmass =1 ist.

Analog zum Peripheriewinkelsatz für Kreise gilt hier der

Peripheriewinkelsatz: (f. Hyperbeln)

Für vier Punkte $P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,4,\ x_{i}\neq x_{k},y_{i}\neq y_{k},i\neq k$ (s. Bild) gilt:

Die vier Punkte liegen nur dann auf einer Hyperbel der Form $y={\tfrac {a}{x-b}}+c$, wenn die Winkel bei $P_{3}$ und $P_{4}$ im obigen Winkelmaß gleich sind, d.h. wenn:

${\frac {(y_{4}-y_{1})}{(x_{4}-x_{1})}}{\frac {(x_{4}-x_{2})}{(y_{4}-y_{2})}}={\frac {(y_{3}-y_{1})}{(x_{3}-x_{1})}}{\frac {(x_{3}-x_{2})}{(y_{3}-y_{2})}}\ .$

(Beweis durch Nachrechnen. Dabei kann man für die eine Richtung voraussetzen, dass die Punkte auf einer Hyperbel y=a/x liegen.)

3-Punkte-Form einer Hyperbel

Analog zur 2-Punkteform einer Gerade (Steigungswinkel werden mit der Steigung gemessen) folgt aus dem Peripheriewinkelsatz für Hyperbeln die

3-Punkte-Form: (f. Hyperbeln)

Die Gleichung der Hyperbel durch 3 Punkte $P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,\ x_{i}\neq x_{k},y_{i}\neq y_{k},i\neq k$ ergibt sich durch Auflösen der Gleichung

${\frac {({\color {red}y}-y_{1})}{({\color {green}x}-x_{1})}}{\frac {({\color {green}x}-x_{2})}{({\color {red}y}-y_{2})}}={\frac {(y_{3}-y_{1})}{(x_{3}-x_{1})}}{\frac {(x_{3}-x_{2})}{(y_{3}-y_{2})}}\$

nach y.

Formelsammlung

Hyperbelgleichung

Eine Hyperbel mit Mittelpunkt (0|0) und x-Achse als Hauptachse erfüllt die Gleichung

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.$

Die Asymptoten der zugehörigen Hyperbel sind die Geraden:

$y=\pm {\frac {b}{a}}x.$

Brennpunkte sind:

$(\pm ~{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0).$

Eine Hyperbel mit Mittelpunkt $(x_{0}|y_{0})$ und der Gerade $y=y_{0}$ als Hauptachse erfüllt die Gleichung

${\frac {(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}}=1.$

Scheitelgleichung

Datei:Kegelschnitt-schaar.png

Kegelschnitt-Schaar

Die Schar der Hyperbeln, deren Achse die x-Achse, ein Scheitel der Punkt (0,0) und der Mittelpunkt (-a,0) ist, lässt sich durch die Gleichung

$y^{2}=2px+(\varepsilon ^{2}-1)x^{2}\qquad ,p={\tfrac {b^{2}}{a}},\ \varepsilon ={\tfrac {e}{a}},\ e^{2}=a^{2}+b^{2},$

beschreiben.

Für Hyperbeln gilt $1<\varepsilon$. Setzt man in dieser Gleichung

$\varepsilon =0$, so erhält man einen Kreis,

für $0<\varepsilon <1$ eine Ellipse,

für $\varepsilon =1$ eine Parabel .

Die Kegelschnitte haben bei gleichem Halbparameter $p$ alle denselben Krümmungskreisradius im Scheitel $S:\ \rho =p\ .$

Parameterdarstellungen

Mittelpunkt (0|0), x-Achse als Hauptachse:

1: $\left\{{\begin{matrix}x\,=\,{\frac {a}{\cos t}}\\y\,=\,\pm b\tan t\end{matrix}}\right.\ ,\ 0\leq t<2\pi ;\;t\neq {\frac {\pi }{2}};\;t\neq {\frac {3}{2}}\pi$

2: $\left\{{\begin{matrix}x\,=\,\pm a\cosh t\\y\,=\,b\sinh t\end{matrix}}\right.\quad ,\ t\in \mathbb {R} .$

3: $\left\{{\begin{matrix}x\,=\,\pm a\,{\tfrac {t^{2}+1}{2t}}\\y\,=\,b\,{\tfrac {t^{2}-1}{2t}}\end{matrix}}\right.\quad ,\ t>0\ .$ (Darstellung mit rationalen Funktionen !)

In Polarkoordinaten

Hyperbel: Polardarstellung, Pol=Mittelpunkt

Hyperbel: Polardarstellung, Pol=Brennpunkt

Man beachte

1. im ersten Fall (Pol ist der Mittelpunkt der Hyperbel), dass der Term unter der Wurzel negativ werden kann. Für solche Winkel ergeben sich keine Hyperbelpunkte.
2. Im zweiten Fall (Pol ist ein Brennpunkt der Hyperbel) liegen auf jedem Strahl, für den der Nenner nicht 0 ist, 2 Hyperbelpunkte (wegen $\mp$). Für $\varphi =0$ ergeben sich die beiden Scheitel.

Winkel zur Hauptachse, Pol im Mittelpunkt (0,0):

$r={\frac {b}{\sqrt {\varepsilon ^{2}\cos ^{2}\varphi -1}}},\quad \varepsilon ={\tfrac {e}{a}},\ e^{2}=a^{2}+b^{2}$

Winkel zur Hauptachse, Pol in einem Brennpunkt:

$r={\frac {p}{1\mp \varepsilon \cos \varphi }},\quad p={\tfrac {b^{2}}{a}}.$

Tangentengleichung

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse, Berührpunkt $(x_{B}|y_{B})$

${\frac {x_{B}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{B}y}{b^{2}}}=1$

Mittelpunkt $(x_{0}|y_{0})$, Hauptachse parallel zur x-Achse, Berührpunkt $(x_{B}|y_{B})$

${\frac {(x_{B}-x_{0})(x-x_{0})}{a^{2}}}-{\frac {(y_{B}-y_{0})(y-y_{0})}{b^{2}}}=1$

Krümmungskreisradius

Der Krümmungskreisradius der Hyperbel ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ in den beiden Scheiteln $(\pm a,0)$ ist:

$\rho ={\frac {b^{2}}{a}}\quad ,$ (wie bei einer Ellipse in den Hauptscheiteln).

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Hyperbola. In: MathWorld (englisch).
• Vorlage:MacTutor Biography
• Berechnungen zu Hyperbeln (Javascript)
• http://www.mathematische-basteleien.de/hyperbel.htm