Polygon

Polygon (von altgriechisch πολυγώνιον polygṓnion ‚Vieleck‘; zurückzuführen auf πολύς polýs ‚viel‘ und γωνία gōnía ‚Winkel‘) oder auch Vieleck ist ein Begriff aus der Geometrie und dabei insbesondere der Planimetrie. Ein Polygon ist eine geometrische Figur, die man erhält, indem man mindestens drei voneinander verschiedene Punkte in einer Zeichenebene (die Ecken) durch Strecken (die Kanten) miteinander verbindet, sodass durch den entstandenen Linienzug eine zusammenhängende Fläche umschlossen wird. Auch diese so entstandene Fläche wird oft Polygon genannt. Dreiecke, Vierecke und Sechsecke sind aus dem Alltag bekannte Beispiele für Polygone.

verschiedene Polygone bzw. polygonale Flächen

Historische Abbildung von Vielecken (1699)

Mathematische Definition

Ein Polygon ist eine Figur, die durch ein Tupel $P:=\left(P_{1},P_{2},\dotsc ,P_{n}\right),P_{i}\in \mathbb {R} ^{2},1\leq i\leq n$ von $n$ verschiedenen Punkten definiert ist. Die $n$ Punkte heißen die Eckpunkte oder kurz Ecken des Polygons, ein Polygon mit $n$-Ecken heißt auch $n$-Eck.

Die Strecken ${\overline {P_{i}P_{i+1}}}\left(i=1,\dotsc ,n-1\right)$ und ${\overline {P_{n}P_{1}}}$ bezeichnet man als Seiten oder Kanten des Polygons, alle anderen Verbindungsstrecken ${\overline {P_{i}P_{j}}}$ zweier Polygon-Eckpunkte als Diagonalen.

Meist werden noch weitere Bedingungen vorausgesetzt:

• Das Polygon hat mindestens drei paarweise voneinander verschiedene Eckpunkte.
• Drei angrenzende Eckpunkte liegen nicht auf einer Geraden. Auch $P_{n}$ , $P_{1}$ , $P_{2}$ und $P_{n-1}$ , $P_{n}$ , $P_{1}$ gelten als angrenzende Eckpunkte.

Mathematische Beziehungen

Polygone, deren Kanten sich nicht nur in den Eckpunkten schneiden (berühren), bezeichnet man als überschlagen.

Innenwinkel

In einem nicht überschlagenen, ebenen $n$-Eck ist die Summe der Innenwinkel

$\alpha _{1}+\dotsb +\alpha _{n}=(n-2)\cdot 180^{\circ }$.

Sind darüber hinaus alle Innenwinkel gleich groß, so haben diese den Wert

$\alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }$.

Anzahl der Diagonalen

Für konvexe Polygone gilt zur Berechnung der Anzahl der Diagonalen folgende Überlegung:

1. Jede der $n$ Ecken kann durch eine Strecke mit einer der anderen Ecken verbunden werden.
2. Die Verbindung von Ecke $P_{a}$ zur Ecke $P_{b}$ ist mit der Verbindung von $P_{b}$ nach $P_{a}$ identisch.
3. Genau $n$ Verbindungen sind Seiten des Polygons.

Also hat ein konvexes $n$-Eck genau ${\tfrac {n\cdot (n-1)}{2}}-n={\tfrac {n\cdot (n-3)}{2}}$ Diagonalen.

Fläche

Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen (s. u.) Polygons durch kartesische Koordinaten $(x_{i},y_{i})$ gegeben sind, kann man die Fläche des Polygons nach der Gaußschen Trapezformel berechnen:

$\mathrm {2} A\ =\ \left|\sum _{i=1}^{n}(y_{i}+y_{i+1})\cdot (x_{i}-x_{i+1})\right|\ =\ \left|\sum _{i=1}^{n}(x_{i}+x_{i+1})\cdot (y_{i+1}-y_{i})\right|\ =\ \left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\cdot y_{i+1}-y_{i}\cdot x_{i+1}\right|$

Wobei die Indizes, die größer als $n$ sind, immer modulo $n$ betrachtet werden müssen, d. h. mit $x_{n+1}$ ist $x_{1}$ gemeint:

$2A\ =\ \left|x_{n}\cdot y_{1}-y_{n}\cdot x_{1}+\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}\cdot y_{i+1}-y_{i}\cdot x_{i+1}\right|$

Als Determinanten:

$2A\ =\ \left|\quad {\begin{vmatrix}x_{n}&y_{n}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}+\sum _{i=1}^{n-1}{\begin{vmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{i+1}&y_{i+1}\end{vmatrix}}\quad \right|$

Approximation

In der Informatik sind wichtige Approximationen komplexer Polygone die konvexe Hülle und das minimal umgebende Rechteck. In Algorithmen wird oft erst anhand der Approximation auf einen möglichen nichtleeren Schnitt mit einem anderen geometrischen Objekt getestet (oder dieser ausgeschlossen), erst anschließend das ganze Polygon in den Speicher geladen und ein exakter Schnitt berechnet.

Besondere Polygone

Unter den beliebig vielen möglichen Polygonen stellen die nachstehend aufgelisteten Klassen von Polygonen etwas Besonderes dar. Einige von ihnen können entweder unerwarteterweise exakt (Beispiel 65537-Eck) oder in sehr guter Näherung (Beispiel Siebeneck) mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Andere haben neben der geometrischen eine Bedeutung als Form in der Architektur (Beispiel Pentagon) oder in der Symbolik (Beispiel Pentagramm).

• Dreieck (Triangel)
• Viereck (Tetragon)
  • Drachenviereck
  • Parallelogramm
  • Quadrat
  • Raute
  • Rechteck
  • Trapez
• Fünfeck (Pentagon)
• Sechseck (Hexagon)
• Siebeneck (Heptagon)
• Achteck (Oktogon)
• Neuneck (Nonagon, Enneagon)
• Zehneck (Dekagon)
• Elfeck (Hendekagon)
• Siebzehneck (Heptadekagon)
• 257-Eck
• 65537-Eck

Spezielle Typen

Regelmäßige Polygone

Ein einfaches, nicht überschlagenes, planares, konvexes, regelmäßiges Siebeneck

Vielecke können gleichseitig oder gleichwinklig sein. Hat ein Vieleck gleiche Seiten und gleiche Innenwinkel, dann wird es als reguläres oder regelmäßiges Vieleck bezeichnet. Reguläre Vielecke sind isogonal, d. h. seine Ecken liegen gleichabständig, also unter gleichem Zentriwinkel, auf einem Kreis.

Ein reguläres $n$-Eck hat stets einen Umkreis mit Radius $r_{\mathrm {u} }$ und einen Inkreis mit Radius $r_{\mathrm {i} }$. Die Länge jeder Seite wird mit $a$ bezeichnet, die Seitenanzahl mit $n$. Daraus ergeben sich folgende Formeln für reguläre, nicht-überschlagene Polygone:

Flächeninhalt

$A={\frac {n\,a\,r_{i}}{2}}={\frac {n\,r_{u}^{2}}{2}}\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)={\frac {n\,a^{2}}{4}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)={\frac {n\,a^{2}}{4\,\tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}$

Inkreisradius (Apothema)

$r_{i}={\frac {a}{2}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)={\frac {a}{2\,\tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}$

Umkreisradius

$r_{u}={\frac {a}{2}}\cdot \csc \left({\frac {\pi }{n}}\right)={\frac {a}{2\,\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}$

Wichtige Kenndaten: ($r$ = Radius des Umkreises)

Regelmäßige Polygone

Polygon	Seitenlänge	Zentriwinkel	Innenwinkel	Umfang	Fläche
Gleichseitiges Dreieck	$a=r\cdot {\sqrt {3}}$	$\mu =120^{\circ }$	$\alpha =60^{\circ }$	$u=r\cdot 3{\sqrt {3}}$	$A=r^{2}\cdot {\frac {3}{4}}{\sqrt {3}}$
Quadrat	$a=r\cdot {\sqrt {2}}$	$\mu =90^{\circ }$	$\alpha =90^{\circ }$	$u=r\cdot 4{\sqrt {2}}$	$A=r^{2}\cdot 2$
Regelmäßiges Fünfeck	$a=r\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(5-{\sqrt {5}})}}$	$\mu =72^{\circ }$	$\alpha =108^{\circ }$	$u=r\cdot 5{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(5-{\sqrt {5}})}}$	$A=r^{2}\cdot {\frac {5}{8}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$
Regelmäßiges Sechseck	$a=r\,$	$\mu =60^{\circ }$	$\alpha =120^{\circ }$	$u=r\cdot 6$	$A=r^{2}\cdot {\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}$
Regelmäßiges Achteck	$a=r\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$	$\mu =45^{\circ }$	$\alpha =135^{\circ }$	$u=r\cdot 8{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$	$A=r^{2}\cdot 2{\sqrt {2}}$
Regelmäßiges Zehneck	$a=r\cdot {\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$	$\mu =36^{\circ }$	$\alpha =144^{\circ }$	$u=r\cdot 5\left({\sqrt {5}}-1\right)$	$A=r^{2}\cdot {\frac {5}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$
Regelmäßiges Zwölfeck	$a=r\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$	$\mu =30^{\circ }$	$\alpha =150^{\circ }$	$u=r\cdot 12{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$	$A=r^{2}\cdot 3$
Regelmäßiges $n$-Eck	$a=r\cdot 2\,\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)$	$\mu ={\frac {360^{\circ }}{n}}$	$\alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }$	$u=r\cdot 2\,n\,\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)$	$A=r^{2}\cdot {\frac {n}{2}}\,\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)$
Grenzwert $n\to \infty$ (Kreis)	$a\to 0$	$\mu \to 0^{\circ }$	$\alpha \to 180^{\circ }$	$u=r\cdot 2\pi$	$A=r^{2}\cdot \pi$

Aus der Seitenlänge eines N-Ecks lässt sich die Seitenlänge eines 2N-Ecks mit gleichem Umkreis wie folgt berechnen:

$a_{2n}=a_{n}\cdot {\sqrt {\frac {2-{\sqrt {2+2\cos \varphi _{n}}}}{2-2\cos \varphi _{n}}}}$ mit $\varphi _{n}={\frac {360^{\circ }}{n}}$

Andere Typen

• Schneiden (berühren) sich die Kanten nicht nur in den Eckpunkten, bezeichnet man das Polygon als überschlagen.
• Falls der Schnitt zweier Kanten entweder leer oder eine Ecke ist, und jede Ecke zu höchstens zwei Kanten gehört (das heißt, es liegt keine Selbstüberschneidung vor), bezeichnet man das Polygon als einfach.
• Nicht überschlagene Vielecke können konvex (alle Innenwinkel sind kleiner als 180°) oder nichtkonvex (mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180°) sein.
• Man unterscheidet in der Ebene liegende (planare) und im Raum liegende (nicht-planare) Polygone.
• Planare überschlagene reguläre Polygone werden wegen ihres Aussehens auch als Sternpolygone bezeichnet.
• Bei orthogonalen Polygonen treffen alle Kanten im rechten Winkel aufeinander (d.h. der Innenwinkel an jeder Kante beträgt entweder 90° oder 270°).

Berühmte Vielecke

• das „Pentagon“ (Sitz des US-Verteidigungsministeriums);
• das Pentagon in Kronach: die Festung Rosenberg zeigt ein Fünfeck als Grundriss;
• Frankreich wird aufgrund seiner geographischen Form auch als Hexagon bezeichnet;
• das karolingische Oktogon im Grundriss des Aachener Doms;
• Castel del Monte in Apulien als Oktogon im Grundriss.

Polygone in der Computergrafik

In der 3D-Computergrafik werden neben anderen Verfahren der geometrischen Modellierung beliebige (auch gekrümmte) Oberflächen als Polygonnetz modelliert. Dreiecksnetze eignen sich besonders gut zur schnellen Darstellung von Oberflächen, können allerdings nicht so gut durch Subdivision Surfaces interpoliert werden. Zur Speicherung von polygonalen Netzen gibt es eine Reihe bekannter Datenstrukturen.

Siehe auch

• Polyeder, Polytop, Winkelsumme, Außenwinkel
• Satz von Pick (für Polygone auf dem ganzzahligen Gitter)
• Häufigkeitspolygon
• Konstruierbares Polygon
• Graham Scan

Weblinks

Wiktionary: Polygon – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wiktionary: Vieleck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Zur Mathematik unregelmäßiger Polygone
• Sichtbarkeit in einfachen Polygonen
• Rasterung von Polygonen