Die Quadratur des Kreises ist ein klassisches Problem der Geometrie. Die Aufgabe der Quadratur des Kreises ist, nur mit Lineal und Zirkel ein Quadrat mit dem Flächeninhalt eines gegebenen Kreises zu konstruieren. Das Problem lässt sich bis in die Anfänge der Geometrie zurückverfolgen und beschäftigte jahrhundertelang führende Mathematiker, darunter auch Leonardo da Vinci. 1882 bewies Ferdinand von Lindemann, dass diese Aufgabe unlösbar ist.
Beweisskizze
Die Analytische Geometrie ermöglicht es, geometrische Operationen mit Hilfe der Algebra auszudrücken. Mit ihrer Hilfe kann man zeigen, dass aus der Lösbarkeit der Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal ein arithmetischer Sachverhalt folgen würde. Und zwar könnte dann die Zahl Pi mittels der Operationen (+, -, *, /, √) aus der Zahl 1 erzeugt werden. Mit diesen Operationen ist nur eine Teilmenge der algebraischen Zahlen erzeugbar. Der eigentlich schwierige Schritt ist nun der Beweis, dass keine algebraische, sondern eine transzendente Zahl ist. Indem Ferdinand von Lindemann der Beweis dieses Schrittes gelang, bewies er damit auch die Unmöglichkeit der Lösung des geometrischen Problems, da sonst ein Widerspruch die Folge wäre.
Näherungskonstruktionen
Obwohl also eine exakte Lösung mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist, gibt es Näherungskonstruktionen für die Kreisquadratur, die für viele Zwecke exakt genug sind. Eine bekannte Näherungslösung ist beispielsweise die Näherungskonstruktion des polnischen Jesuiten Adam Adamandy Kochański aus dem Jahre 1685.
Der Flächeninhalt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem Quadrat über der größeren Kathete, wenn sich das Verhältnis der beiden Katheten zueinander verhält wie
Daraus ergibt sich eine einfache Näherung, indem man das (konstruierbare) rechtwinklige Dreieck mit dem Kathetenverhältnis 44: 23 zur Quadratur benutzt. Dies entspricht der Näherung
Fruchtlose Versuche
Der mathematische Beweis, dass die Quadratur des Kreises unmöglich ist, hat viele Sonderlinge nicht daran gehindert, Jahre an Arbeit in dieses Problem zu stecken. Mathematik-Institute in aller Welt bekommen regelmäßig Post von »Kreisquadrierern«, die behaupten, das Problem gelöst zu haben, obwohl es bereits durch den Beweis der Unmöglichkeit als erledigt gilt. Manche Mathematiker, wie Dudley Underwood, sammeln solche Briefe, finden die elementaren Fehler darin und veröffentlichen sie als Unterhaltungsmathematik. Bei anderen nachweislich unlösbaren Problemen, z.B. der Dreiteilung des Winkels oder der Würfelverdoppelung, gibt es das gleiche Phänomen.
Inwiefern eine Quadratur des Kreises in einem gewissen Sinn der Mathematik doch möglich ist: Siehe Banach-Tarski-Paradoxon
Das Problem als Metapher
Die Nutzlosigkeit dieser Arbeit hat den Ausdruck als Metapher bekannt gemacht, wo er einfach als ein Synonym für ein Unterfangen benutzt wird, das von vornherein zum Scheitern verurteilt ist.
Weblinks
Literatur
Dudley Underwood, Mathematik zwischen Wahn und Witz. Trugschlüsse, falsche Beweise und die Bedeutung der Zahl 57 für die amerikanische Geschichte, Birkhäuser 1995