Die Bellsche Zahl
B
n
{\displaystyle B_{n}}
Partitionen einer n-elementigen Menge. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Eric Temple Bell (1883-1960).
B
n
=
1
e
∑
k
=
0
∞
k
n
k
!
{\displaystyle B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}}
B
0
=
1
,
B
1
=
1
,
B
2
=
2
,
B
3
=
5
,
B
4
=
15
,
B
5
=
52
,
B
6
=
203
,
…
{\displaystyle B_{0}=1,\quad B_{1}=1,\quad B_{2}=2,\quad B_{3}=5,\quad B_{4}=15,\quad B_{5}=52,\quad B_{6}=203,\quad \dots }
Eigenschaften der Bellschen Zahlen
Die Bellschen Zahlen entspringen dieser Rekursionsformel:
B
n
+
1
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
B
k
=
∑
k
=
1
n
+
1
(
n
k
−
1
)
B
n
+
1
−
k
{\displaystyle B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{{n \choose k}B_{k}}=\sum _{k=1}^{n+1}{n \choose k-1}B_{n+1-k}}
Ebenso die Dobinski-Formel:
B
n
=
1
e
∑
k
=
0
∞
k
n
k
!
=
{\displaystyle B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}=}
n -te Glied einer Poissonverteilung mit Erwartungswert 1.Und sie genügen "Touchards Kongruenz ": Wenn p eine Primzahl ist dann:
B
p
+
n
≡
B
n
+
B
n
+
1
(
mod
p
)
.
{\displaystyle B_{p+n}\equiv B_{n}+B_{n+1}\ (\operatorname {mod} \ p).}
Jede Bellzahl ist eine Summe der "Stirling-Zahl zweiter Art"
B
n
=
∑
k
=
1
n
S
(
n
,
k
)
=
∑
k
=
0
n
S
(
n
,
k
)
{\displaystyle B_{n}=\sum _{k=1}^{n}S(n,k)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)\quad }
(da
S
(
n
,
0
)
=
0
{\displaystyle S(n,0)=0}
.Die Stirling Zahl S (n , k ) ist die Anzahl der k nichtleeren Partitionen einer n -elementigen Menge.
Die n -te Bellzahl ist auch die Summe der Polynomialkoeffizienten .
Die erzeugende Funktion der Bellzahlen ist:
∑
n
=
0
∞
B
n
n
!
x
n
=
e
e
x
−
1
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}.}
