Planck-Konstante

Das plancksche Wirkungsquantum h ist eine grundlegende Naturkonstante der Physik, die zur Beschreibung der Werte von quantisierten Größen verwendet wird. Sie ist von grundlegender Bedeutung in der Quantenphysik. Der Wert des planckschen Wirkungsquantums beträgt etwa

$h=6,6260755\cdot 10^{-34}\,{\rm {{J\,s},}}$

und hat demnach die Dimension von Energie mal Zeit, also einer Wirkung.

Häufig wird statt $h$ auch die Größe $\hbar$ (sprich „h-quer") verwendet mit:

$\hbar ={\frac {h}{2\pi }}=1,0545727\cdot 10^{-34}\,{\rm {{J\,s},}}$

wobei $\pi$ die Kreiszahl (pi) ist. $\hbar$ wird manchmal auch nach Paul Dirac als Dirac'sche Konstante bezeichnet.

Bedeutung

Das plancksche Wirkungsquantum tritt in der Beschreibung quantisierter Phänomene auf. Insbesondere mikroskopische Objekte wie Elementarteilchen wie Elektronen oder Photonen haben physikalische Eigenschaften, die nicht jeden beliebigen kontinuierlichen Wert, sondern nur bestimmte diskrete Werte annehmen können.

Proportionalitätsfaktor zwischen Photonenenergie und Frequenz

Die Energie E eines Lichtstrahls einer gegebenen Frequenz ν kann nur bestimmte Werte annehmen:

$E=n\,h\nu \,,\quad n=0,1,2,3,...$

Max Planck führte die Konstante h im Jahr 1900 zunächst nur als Hilfsmittel zur Lösung des Problems der Beschreibung des Strahlungsverhaltens schwarzer Körper (auch bezeichnet als Schwarzkörperstrahlung, oder Hohlraumstrahlung) ein. Nach der klassischen Ableitung (→ Rayleigh-Jeans-Gesetz) hätte die Intensität mit steigender Frequenz immer größer werden müssen (was der Realität widerspricht und als Ultraviolettkatastrophe bezeichnet wird).

Planck setzte in seiner Rechnung voraus, dass Strahlung der Wellenlänge ν nur in Energiepaketen der Größe $E=h\nu$ emittiert werden kann. Das Wirkungsquantum ist hier eine Proportionalitätskonstante, deren Größe sich aus der Anpassung an die experimentell ermittelten Werten der Hohlraumstrahlung ergibt.

Planck hielt den nichtkontinuierlichen Charakter der Energie zunächst für eine Folge der Eigenschaft der Strahlungsquelle. Erst Albert Einstein postulierte 1905 die Lichtquantenhypothese, die besagt, dass die Quantisierung unabhängig von der Strahlungsquelle eine Eigenschaft des Strahlungsfeldes ist. Anlass dazu waren die experimentellen Ergebnisse zum photoelektrischen Effekt.

Häufig ersetzt man die Frequenz $\nu$ durch die Kreisfrequenz $\omega =2\pi \nu$. Dann wird $E=h\nu$ zu

$E=\hbar \omega$

Proportionalitätsfaktor zwischen Drehimpulsquantenzahl und Drehimpuls

Plancks Motivation für die Bezeichnung "Wirkungsquantum" war zunächst alleine die Dimension der Konstanten. Erst in dem 1913 von Niels Bohr aufgestellten Atommodell des Wasserstoffatoms trat das Wirkungsintegral eines um den Atomkern kreisenden Elektrons über einen geschlossenen Umlauf als quantisierte Größe in Erscheinung. Aus dieser Quantisierungsbedingung folgt, dass der Drehimpuls ${\vec {L}}$ des Elektrons nur ganzzahlige Vielfache von $\hbar$ annehmen kann. (Neben dem Produkt einer Energie mit einer Zeitdifferenz hat auch das Produkt eines Impulses mit einem Abstand die Dimension einer Wirkung, und damit auch der Drehimpuls.)

Genauere Betrachtungen des Betrages des Bahnrehimpulses ${\vec {L}}$ jedes Systems in jedem beliebigen Inertialsystem haben später ergeben, dass dieser entgegen dem veralteten Bohrschen Atommodell nicht als ganzzahliges Vielfaches von $\hbar$ auftritt. Die Relation lautet vielmehr:

$|{\vec {L}}|={\sqrt {l(l+1)}}\hbar$

$\hbar$ tritt also weiterhin als Proportionalitätskonstante auf.

Die Bahndrehimpulsquantenzahl $l$ kann ganzzahlige Werte von 0 bis $n-1$ annehmen, wobei $n$ die Hauptquantenzahl ist. Für die Komponente des Drehimpulses entlang einer beliebigen Achse gilt allerdings, dass deren Betrag ein ganzzahliges Vielfaches von $\hbar$ ist. Kommt der Spin ins Spiel, können die Quantenzahlen auch halbzahlige Werte annehmen.

Proportionalitätsfaktor zwischen Impuls und Wellenzahlvektor

Im Jahr 1924 schrieb Louis de Broglie auch massereichen Teilchen wie Elektronen Welleneigenschaften zu. Er verknüpfte den Impuls ${\vec {p}}$ mit der Wellenlänge $\lambda$: $p=h/\lambda$, bzw. vektoriell ${\vec {p}}=\hbar \,{\vec {k}}$, mit dem Wellenzahlvektor ${\vec {k}}$ vom Betrag ${\vec {k}}=2\pi /\lambda$. Die Richtung von ${\vec {k}}$ entspricht der des Teilchens, dessen Materiewelle ${\vec {k}}$ beschreibt.

Allgemeine Bedeutung in der Quantenmechanik

In der in den 1920er Jahren entwickelten Quantenmechanik kommt dem Wirkungsquantum dann eine allgemeine Bedeutung zu. Es tritt z. B. im Impulsoperator und Energieoperator in der Schrödingergleichung, der fundamentalen Gleichung dieser Theorie, auf.

Später wurde erkannt, dass das plancksche Wirkungsquantum auch in der Heisenbergschen Unschärferelation auftritt. Manchmal wird $\hbar$ deshalb als die fundamentalere Konstante angesehen.