Perfekte Gruppe

In der Mathematik bezeichnet man als perfekte Gruppen diejenigen Gruppen, die mit ihrer Kommutatorgruppe identisch sind.

Eine Gruppe $G$ ist demnach perfekt, wenn $G=[G,G]=G'$ gilt, wobei $G'=[G,G]$ die Kommutatorgruppe bezeichnet. Früher wurden perfekte Gruppen auch als vollkommene Gruppen bezeichnet.

Eigenschaften

Hinweis: Die hier vorgestellten Eigenschaften beziehen sich auf nicht triviale perfekte Gruppen.

Faktorgruppen perfekter Gruppen sind perfekt. Da jede kommutative Faktorgruppe die Kommutatorgruppe herausfaktorisiert, besitzen perfekte Gruppen keine nicht trivialen abelschen Faktorgruppe. Perfekte Gruppen sind also höchstgradig nicht abelsch, da die Kommutatorgruppe der kleinste Normalteiler ist, sodass die zugehörige Faktorgruppe abelsch ist. Insbesondere sind perfekte Gruppen daher nicht auflösbar und besitzen somit auch keine auflösbaren Faktorgruppen.

Beispiele

Die alternierenden Gruppen $A_{n}$ sind perfekt für $n\geq 5$, denn sie sind sogar einfach, besitzen also keine nicht-trivialen Normalteiler. Da $A_{4}'=V$ mit der kleinschen Vierergruppe $V$ gilt, ist $A_{4}$ nicht perfekt. Die abelsche Gruppe $A_{3}$ ist einfach, aber nicht perfekt.

Die spezielle lineare Gruppe $SL(2,\mathbb {F} _{5})$ ist perfekt, aber nicht einfach.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Perfect Group. In: MathWorld (englisch).