Das Smith-Diagramm (Synonym: smithsches Kreisdiagramm) ist ein Hilfsmittel der komplexen Wechselstromrechnung, mit dem Berechnungen komplexer Widerstände auf eine geometrische Konstruktion zurückgeführt werden können.
Das Diagramm ist kreisförmig und ist mit einem komplexen Koordinatensystem versehen.
Das Smith-Diagramm wird ebenfalls in der Leitungstheorie zur einfachen Widerstandstransformation verwendet. Das dort verwendete Smith-Diagramm unterscheidet sich lediglich durch die Interpretation der Achsen bzw. die Achsenbeschriftung von dem hier gezeigten.
Das Smith-Diagram ist von Phillip Smith (1905-1987) 1937 entwickelt worden.
Es beruht auf der konformen Abbildung
der komplexen Ebene auf sich selbst. Bei dieser Abbildung wird die rechte Halbebene auf einen Kreis vom Radius 0,5 um den Mittelpunkt 0,5 abgebildet.Die linke Halbebene ist dabei ohne Bedeutung, da sie negativen ohmschen Widerständen entspricht, welche bei passiven Bauteilen nicht auftreten. In der Mathematik ist diese Transformation einer Ebene in eine andere auch unter der Möbiustransformation bekannt.Sie gehorcht der allgemeinen Form
- .
Datei:Smithdiagramm Abbildung.PNG
Die Abbildung besitzt die besondere Eigenschaft, dass das Bild einer Zahl z (z.B. z=2+j) und ihres Kehrwertes (z.B. 1/z=1/(2+j)=0,4-0,2j) spiegelsymmetrisch zum Kreismittelpunkt liegen (In der Wechselstromlehre wird j für die imaginäre Einheit verwendet, da das in der Mathematik hierfür übliche i mit dem Symbol für die Stromstärke verwechselt werden könnte).
Bei der Berechnung einer Parallelschaltung ergibt sich der Kehrwert des Gesamtwiderstandes als Summe der Kehrwerte der Teilwiderstände. Diese Kehrwertbildung (im Komplexen) wird also im Smith-Diagramm geometrisch durch eine Spiegelung ersetzt.
Beispiel
Ein ohmscher Widerstand R = 150 Ω und ein Kondensator C = 10 μF sind in Reihe geschaltet, parallel hierzu liegt eine Spule L = 0,5 H. Die Schaltung ist an einen Generator angeschlossen, dessen Frequenz f = 79,6 Hz beträgt.
Die Kreisfrequenz ist dann ω = 2 π f = 500 s-1.
Für den komplexen Widerstand (die Impedanz) des Kondensators folgt
- ,
für die Impedanz der Spule errechnet man
- .
Bei der Reihenschaltung aus Widerstand und Kondensator werden die Werte einfach addiert und ergeben
- .
Um die Werte ins Smith-Diagramm eintragen zu können, in dem sich große Zahlen nicht mehr darstellen lassen, normiert man mit einem geeigneten Bezugswiderstand, z.B. Z0=100Ω, indem man alle Werte durch ihn dividiert. Dann wird
- (Widerstand und Kondensator)
und
- (Spule).
Diese beiden Widerstände sind parallel geschaltet. Für die Gesamtimpedanz X ist also
- .
Diese Kehrwerte werden im Smith-Diagramm durch Spiegelung am Kreismittelpunkt gewonnen.
Sie betragen
- und .
Die Addition der beiden Kehrwerte erfolgt rechnerisch oder im Smithdiagramm durch "Abzählen" am Koordinatengitter.
Man erhält
Um die Gesamtimpedanz X zu bestimmen, ist hiervon wieder der Kehrwert zu bilden. Man spiegelt also den soeben erhaltenen Punkt wieder am Kreismittelpunkt.
Als Ergebnis findet man
- X = 3,75 + 1,25j .
Da man zuvor durch 100 Ω dividiert hat, muss man nun wieder damit multiplizieren. Endgültig beträgt die Impedanz der Gesamtschaltung somit
- X = 375 Ω + 125 j Ω .
Sie kann daher ersatzweise durch eine Reihenschaltung aus einem Widerstand von 375 Ω und einer Spule von 125 j Ω dargestellt werden (bei ω = 500 s-1 entspricht das einer Induktivität von 0,25 H).
Siehe auch
Weblinks
- Smith-Diagramm als PDF, in Deutschland weit verbreitet
- Kurzanleitung zum Smith-Diagramm
- Englisches Smith-Diagramm