Die Bernoulli- oder Binomialverteilung ist innerhalb der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
Allgemeine Problemstellung:
Gegeben sind eine Menge mit ME Elementen und eine Eigenschaft, die für jedes Element
dieser Menge mit der konstanten Einzelwahrscheinlichkeit EW zutrifft.
Die Binomialverteilung mit den Parametern ME und EW B ME,EW
gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass genau 0, 1, 2, 3, ..., ME Elemente
diese Eigenschaft besitzen.
Beispiele:
In einem Behälter befinden sich 80 Kugeln, davon sind 16 gelb. Es wird 5-mal eine Kugel entnommen und anschließend wieder zurückgelegt. Wegen des Zurücklegens ist die Wahrscheinlichkeit, eine gelbe Kugel zu ziehen bei allen Entnahmen gleich groß: 16/80 = 1/5 = 0.2. Die Verteilung B 5,0.2 gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass genau 0, 1, 2, 3, 4, 5 der entnommenen Kugeln gelb sind.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person in diesem Jahr an einem Wochenende Geburtstag hat, beträgt 2/7.
In einem Raum halten sich 10 Personen auf (Darunter sind keine Zwillinge).
Die Verteilung B 10,2/7 gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass genau
0, 1, 2, 3, ..., 10 der Anwesenden in diesem Jahr an einem Wochenende Geburtstag haben.
Hilfsgröße „a über b“:
Die Zahl "a über b" bezeichnet das Ergebnis der folgenden Berechnung:
(a über b) = (a * (a - 1) * (a - 2) * ... * (a - b + 1)) / (1 * 2 * 3 * ... * b)
Beispiel: (10 über 3) = (10 * 9 * 8) / (1 * 2 * 3) = 720 / 6 = 120
Es gilt immer: (a über 0) = 1
Die hier benötigte Hilfsgröße „a über b“ wird im allgemeinen als Binomialkoeffizient bezeichnet und besitzt eine eigene Darstellung:
Berechnung der Binomialverteilung:
Für alle natürliche Zahlen N gilt:
B ME,EW (N) = (ME über N) * EW N * (1 - EW) ME - N
Die Wahrscheinlichkeit, dass im Beispiel oben genau 3 Personen an einem Wochenende Geburtstag haben, errechnet sich wie folgt:
|
B 10,2/7 (3) |
= (10 über 3) * 2/7 3 * (1 - 2/7) 10 - 3 |
Eigenschaften der Binomialverteilung:
- Für EW = 0.5 ist die Verteilung symmetrisch, es gilt:B ME,0.5 ( N ) = B ME,0.5 ( ME - N )
- Die Verteilung B ME,EW besitzt den Erwartungswert ME * EW
- Die Verteilung B ME,EW besitzt die Varianz ME * EW * (1 - EW)
- Die Binomialverteilung kann unter bestimmten Umständen durch die Poisson-Verteilung angenähert werden.
- Die Binomialverteilung kann unter bestimmten Umständen durch die Dichtefunktion der Normalverteilung angenähert werden.
Zahlenwerte zu den Beispielen:
| n | Wahrscheinlichkeit (n) in % |
| 0 | 32.768 |
| 1 | 40.96 |
| 2 | 20.48 |
| 3 | 5.12 |
| 4 | 0.64 |
| 5 | 0.032 |
| ∑ | 100 |
| Erw.Wert | 0.997 ca.= 1 |
| Streuung | 0.8 |
| n | Wahrscheinlichkeit (n) in % |
| 0 | 3.457161303360777 |
| 1 | 13.828645213443108 |
| 2 | 24.89156138419759 |
| 3 | 26.55099880981076 |
| 4 | 18.585699166867535 |
| 5 | 8.921135600096417 |
| 6 | 2.973711866698805 |
| 7 | 0.6797055695311554 |
| 8 | 0.1019558354296733 |
| 9 | 0.009062740927082069 |
| 10 | 0.0003625096370832828 |
| ∑ | 100 |
| Erw.Wert | 2.8571428571428568 |
| Streuung | 2.040816326530612 |
[[sv: Binomialf%F6rdelning]]