Gammafunktion

Die Gammafunktion ist in der Mathematik eine Funktion, die definiert wird als

Graph der Gammafunktion im Reellen

Graph der Gammafunktion im Komplexen

$\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\mathrm {d} t$

für x > 0. Sie erweitert die Fakultätsfunktion auf die positiven reellen Zahlen und dient als Grundlage für die Definition der Gamma-Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie lässt sich als meromorphe Funktion auf die komplexe Zahlenebene mit einfachen Polen in den nichtpositiven ganzen Zahlen fortsetzen. Die Gammafunktion besitzt keine Nullstellen.

Für ganzzahlige positive Werte gilt

$\Gamma (n)=(n-1)!$,

was sich aus der Funktionalgleichung

$\Gamma (x+1)=x\cdot \Gamma (x)$

induktiv ergibt.

Darstellungsformen

Eine weitere Ausweitung des Definitionsbereichs erlaubt die Darstellung der Gammafunktion nach Gauß:

$\Gamma (x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,n^{x}}{x(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}}\;{\hbox{für}}\;x\in \mathbb {R} \backslash \{0,-1,-2,\dots \}.$

Direkt aus der Gaußschen Darstellungsform abgeleitet ist diejenige von Karl Weierstraß:

$\Gamma (x)=\left[x\cdot \mathrm {e} ^{\gamma x}\cdot \prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{k}}\right)\mathrm {e} ^{-x/k}\right]^{-1},$

wobei die Eulersche Konstante γ definiert ist als

$\gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right).$

Näherungswerte der Gammafunktion für x > 0 liefert die Stirlingsche Formel

$\Gamma (x)={\sqrt {2\pi }}x^{x-1/2}\mathrm {e} ^{-x+\mu (x)}\;{\hbox{mit}}\;0<\mu (x)<{\frac {1}{12x}}.$

Der Satz von Bohr-Mollerup

Der Satz von Bohr-Mollerup (H. Bohr und J. Mollerup, 1922) erlaubt eine erstaunlich einfache Charakterisierung der Gammafunktion:

Eine Funktion $G\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} _{>0}$ ist in diesem Bereich gleich der Gammafunktion, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

1. $G(1)=1$
2. $G(x+1)=x\cdot G(x)$
3. $G$ ist logarithmisch konvex, d.h. $x\mapsto \log G(x)$ ist eine konvexe Funktion.

Funktionalgleichungen

Der Ergänzungssatz der Gammafunktion

$\Gamma (x)\Gamma (1-x)={\frac {\pi }{\sin \pi x}}$

erleichtert die Berechnung von Werten der Gammafunktion aus bereits bekannten Funktionswerten ebenso wie die Legendresche Verdopplungsformel

$\Gamma \left({\frac {x}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {x+1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{x-1}}}\Gamma (x).$

Verallgemeinerung: Unvollständige Gammafunktion

Wenn die obere Integrationsgrenze des Integrals ein fester, endlicher Wert ist, spricht man von der unvollständigen Gammafunktion:

$\gamma (x,y)=\int _{0}^{y}t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t$

Geschichtliches

1730 stellte Leonhard Euler in einem Brief an Christian Goldbach folgendes Integral zur Interpolation der Fakultätsfunktion vor:

$\Gamma (x)=\int _{0}^{1}\left[\ln \left({\frac {1}{t}}\right)\right]^{x-1}\mathrm {d} t$

(diese Funktionsdefinition geht durch die Substitution u = ln (1/t) in die obige Form über)

Dieses Integral entdeckte Euler bei der Untersuchung eines Problems aus der Mechanik, bei dem die Beschleunigung eines Partikels betrachtet wird.

Literatur

• Emil Artin: Einführung in die Theorie der Gammafunktion. Leipzig, Teubner 1931.
  (nur noch in Bibliotheken erhältlich)
• K. Königsberger: Analysis I. Heidelberg, Springer 2003, ISBN 3-540-40371-X.

Weblinks

• Die Gammafunktion bei Wolfram MathWorld