Diskussion:Aussagenlogik

Ich habe viel an dem Artikel geändert, insbesondere die Vermengungen zwischen objektsprachlichem Bikonditional und metasprachlicher Äquivalenz, bin aber immer noch unglücklich. Der Abschnitt "Formaler Zugang" bedürfte einer Überarbeitung, und in irgendeiner Form sollte man auch darauf hinweisen, was es mit der Zweiwertigkeit und Extensionalität auf sich hat. Einzelne Kleinigkeiten, die mich stören, sind z.B. die Widersprüchlichkeit in der Definition: Zuerst heißt es, als "Aussagen gelten Sätze, die als wahr oder falsch bestimmt werden können." Noch im selben Absatz wird dann schon angedeutet, dass das so auch nicht stimmen könnte: "In der klassischen Aussagenlogik [...] gibt [es] nur zwei Werte" - der Leserin bleibt die Vermutung, dass es mehrwertige Aussagenlogiken geben könnte, in denen Aussagen dann vielleicht doch nicht "als wahr oder falsch bestimmt werden könnten". Der Faden wird aber nicht mehr aufgenommen, und der unvorbelastete Leser bleibt erst recht im Dunkeln. --GottschallCh 15:08, 10. Dez 2005 (CET)

Ich kämpfe mich langsam durch. Das Syntaxkapitel ist schon recht korrekt, allerdings fehlen noch zwei Unterkapitel "Axiome" und "Schlussregeln". Das Semantikkapitel muss - glaube ich - grundlegend überarbeitet werden. --GottschallCh 22:58, 10. Dez 2005 (CET)

Das Syntaxkapitel ist schon brauchbar fertig, allerdings ist der Abschnitt "Herleitung und Beweis" eventuell noch zu wenig aussagekräftig. Das Semantikkapitel steht noch bevor. --GottschallCh 04:27, 11. Dez 2005 (CET)

Im Semantikkapitel ist auch schon einiges fertig. Ein Ende ist langsam absehbar, was leider noch nicht sagt, dass das Gesamtergebnis brauchbar sein könnte. --GottschallCh 02:49, 13. Dez 2005 (CET)

Das ist auf jeden Fall schon mal super aber ich bin immer noch unglücklich über den Artikel. Noch immer ein Haufen Wahrheitswertetabellen aber nicht ein einziges mal eine harte Definition: Eine Aussagenlogik $A$ ist ein Tripel $<B,R,V>$ bestehend aus einer Menge von Aussagenvariablen $p,q\in B$ Relationen $pR_{i}q\in R$ und Belegungen $v\in V$.... Aussagenlogik besteht nicht aus Wahrheitswertefunktionen, die Wahrheitswertefunktionen kann man verlinken (gibt es einen eigenen Artikel darueber) wenn man beispielsweise die funktionale Vollstaendigkeit anspricht. Die Einleitung kann ja einfach und fuer jedermann verstaendlich sein, den Rest des Artikels selbsterklaerend, aber exakt und detailliert. Das einzige was neben der Einleitung sein darf ist der formale Zugang. Denn die Aussagenlogik ist Formal, da geht nichts dran vorbei. --PunkRock 10:46, 13. Dez 2005 (CET)

Ich stimme durchaus zu, dass der Artikel noch viel zu viel offen lässt; auch meine eigenen Idee, wie man den Artikel aufbauen könnte, ist ja noch nicht fertig ausformuliert.

Die Frage, was Aussagenlogik ist, ist schon an sich ein weites Thema. Die neutrale Formulierung, dass sich Aussagenlogik als geeignetes Tupel darstellen lässt, unterschreibe ich voll und ganz. In diesem Punkt sind sich (famous last words) sicher alle einig, ebenso wie hinsichtlich der Tatsache, dass sich Zahlen als Äquivalenzklassen gleichmächtiger Mengen darstellen lassen.

Fragen wie die: Ob eine Zahl eine Äquivalenzklasse ist; oder ob Aussagenlogik ein Tupel ist, sind hochgradig metaphysisch, und die Antwort hängt schlicht von der jeweiligen Weltanschauung ab. Ein Formalist würde diese Frage bejahen, ein Positivist würde sie als metaphysisch und sinnlos ablehnen.

Was ich versuchen will ist, eine doch etwas am traditionellen Inhalt orientierte Darstellung der Aussagenlogik (entlang der Linie: "Hat etwas mit Wahrheit und mit Argumenten" zu tun) zu geben, dabei aber sachlich und formal nichts Falsches auszusagen (die alte Fassung des Artikels enthielt sachliche Fehler). Dabei muss natürlich schon gesagt werden, dass man noch weiter abstrahieren kann (deshalb das neue "Algebra"-Kapitel). Für den Abschluss würde ich mir dann noch (wie bei anderen Artikeln) so etwas wie eine Abgrenzung oder philosophische Betrachtung vorstellen, die darlegt, wie man mit den formalen Mitteln umgehen bzw. sie einordnen kann.

Der Artikel würde dann weder eine rein formale noch eine sonstige Auffassung von Aussagenlogik vertreten, sondern wertneutral darstellen, was in der Aussagenlogik gemacht wird und wie man das interpretieren oder davon weiter abstrahieren kann. Wie gesagt, das wäre mein Wunsch an den Artikel - wie gut man das erreichen kann, traue ich mich gar nicht zu beurteilen. --GottschallCh 19:52, 13. Dez 2005 (CET)

Leider sind einige Dinge in diesem Artikel falsch und/oder sehr uneindeutig beschrieben: Der Unterschied zwischen => und -> undsoweiter wird nicht stark genug hervorgehoben oder gar (Äquivalenz) ganz vergessen. Das führt später dann in die irre wenn von notwendiger und hinreichender Bedingung die Rede ist.

--leflo 15:17, 15. Apr 2005 (CEST)

Äquivalenz ist nicht vergessen, es gibt den Abschnitt "Gleichwertige Aussagen - Äquivalenz" (1.6 im derzeitigen Inhaltsverzeichnis). Den Einwand "Unterschied zwischen => und ->..." verstehe ich nicht. Könntest Du das bitte präzisieren? -- tsor 15:49, 15. Apr 2005 (CEST)

Das habe ich auch gar nicht gemeint, ich habe mich auf den unterschied zwischen <=> und <-> bezogen. Wiedem auch sein, der Unterschied zwischen => und -> und analog <=> und <-> ist der, dass bei den Aussagenverbindungen mit einem = statt einem - der Wert der Aussage wahr ist.

Das ist in dem Sinne nicht war, dass es sich nicht um = bzw - handelt, sondern um => bzw. -> (und <=> bzw <->). Es sind bloss unterschiedliche Schreibweisen. --85.178.245.209 17:35, 31. Okt 2005 (CET)

Naja, ich glaube ja das leflo auf den Unterschied zwischen dem metasprachlichen und dem logischen Junktor aufmerksam machen wollte, und da hat er prinzipiell auch recht. allerdings braucht man in dem Artikel so wie er jetzt ist wahrscheinlich darauf nicht aufmerksam machen, da der auch wenig unterschied zwischen beweisbar in dem Sinne von Syntaktisch (axiomatisch) und erfuellbar (Modellbeziehung Erfuellbarkeit) macht. Ich weiss das er es macht, aber so richtig deutlich macht er es nicht und wirklich sauber aufgbeschrieben ist es auch nicht. Das ist schade denn es ist eigentlich wichtig zu zeigen, dass dann letztendlich die Vollstaendigkeit zwar wuenschenswert aber nicht gottgegeben im Sinne von Trivial ist, was wichtig ist um spaeter Vollstaendigkeitsbeweise in anderen logischen Systemen ueberhaupt verstehen zu koennen. Vollstaendigkeit koennte einen eigenen Artikel bekommen, in dem man dann unter Umstaenden am Beispiel der kl. Logik einen Beweis erbringt. Auch finde ich den Aufbau eher merkwuerdig, denn die Beispiele (Wahrheitswertetabellen) sind wohl eher das unwichtigste und gehoeren fuer mich einzig und alleine ganz am ende des Artikels eingebracht mit Verweisen innerhalb von der Erklaerung der Semantischen Betrachtungsweise der klassischen Aussagenlogik. Man kann sonst faelschlicherweise und begruendet zu dem Schluss kommen, bei diesem Aufbau, dass die klassische Aussagenlogik einzig und alleine aus Wahrheitswertetabellen besteht und wenn man diesre Betrachtung waehlt ist das ganze eine Themaverfehlung, durch und durch. Also ich wuerde vorschlagen erst einmal einen voellig neuen Seiteaufbau zu konstruieren. Ich schaue mal das ich das mache, um auch wenigstens ein wenig konstruktiv zu sein :) und stelle ihn erst einmal hier vor,--PunkRock 14:35, 29. Nov 2005 (CET)

Also:

• ist Wert(A -> B) = w so schreibt man: A => B
  • A: hinreichende Bedingung für B
  • B: notwendige Bedingung für A

Denn wenn A falsch ist, ist Wert(A -> B) = w, aber wenn A wahr ist, ist Wert(A -> B) = w nur wenn B auch gleich wahr ist. Die Aussage ist aber auf jeden fall Wahr, also darf B nur falsch sein, wenn A falsch ist.

• ist Wert(A <-> B) = w so schreibt man: A <=> B
  • A: hinreichende und notwendige Bedingung für B
  • B: hinreichende und notwendige Bedingung für A

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was noch fehlt:

• null-stellige Operatoren (F, T)
• Formeln in TeX
• Satz über das Verhältnis zur Prädikatenlogik

Hab ich jetzt eingefügt. 30.1.05

• Hinweis auf Klauseln, Normalformeln, usw.

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Die Operatoren "für alle" und "es existiert" sind IMHO nicht Teil der Aussagenlogik, sondern der Prädikatenlogik und sollten deshalb hier raus.

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Ich habe heite am Anfang 'Behauptung' durch 'Satz' ersetzt und dazu noch einen Erklärung zugefügt.

--richi 23:02, 15. Mär 2004 (CET)

Formaler Zugang komplett neu...

Hab da grad einiges umstrukturiert und neu eingefügt. (siehe Syntax)

Was mir aber noch nicht gefällt:

• Die umgangssprachliche Einführung finde ich ein wenig zu lang
• Die Wahrheitstabellen sind nicht alle bündig - gibt es übrigens auch schon unter Wahrheitstabelle
• Unterpunkt "Aussage"... irgendwie passt das noch nicht alles so richtig

Gruss -cljk 13:58, 9. Nov 2004 (CET)

Wozu eigentlich der Punk "Notwendigkeit"/hinreichend? -cljk 14:00, 9. Nov 2004 (CET)

Weil die Begriffe notwendig / hinreichend in der Mathematik sehr gebräuchlich sind. -- tsor 15:20, 9. Nov 2004 (CET)

Die umgangssprachliche Einführung soll möglichst den "Omatest" efüllen, d.h. möglichst für jeden verständlich sein. Ich finde die Länge angemessen. -- tsor 15:22, 9. Nov 2004 (CET)

Ok, da magst Du Recht haben - "omatest" *g*.

Wie schauts aus mit dem Wegkürzen von den ganzen Verneinungen ("Verneinung einer und-verknüpften Aussage", "Verneinung einer oder-verknüpften Aussage", "Die Verneinung der Äquivalenz")? Das ist doppelt gemoppelt, weil die Negation bereits oben erklärt wurde. Fände es sinvoller, die Negation in die Wahrheitstabelle der "normalen" Disjunktion/Konjunktion aufzunehmen und auf De Morgansche Gesetze verweisen. Das würde den Artikel schonmal wesentlich reduzieren.
Zu den Begriffen "hinreichend & notwendig": ist mir klar, dass die in der Mathematik oft benutzt werden... Aber zumindest Beispiel 2 und Beispiel 3 find ich dann ein bischen zuviel des Guten - oder meinst Du, das sollte besser so bleiben? Würd das zu gerne kürzen.

Ich find übrigens den Artikel der englischen Wikipedia sehr schön. Der ist schön strukturiert. [1] -cljk 22:47, 9. Nov 2004 (CET)

Beispiel 1 beschreibt notwendig, Beispiel 2 hinreichend, Beispiel 3 notwendig und hineichend.

Prinzipiell: Jeder Abschnitt sollte in sich geschlossen und verständlich sein, so war das jedenfalls von mir gedacht. Andrerseits bin ich da auch etwas befangen, weil vieles davon aus meiner Feder Tastatur stammt. Ich würde aus dem oberen Teil nur ungern was wegkürzen. Der "formale Zugang" gehört hier rein, klar, dürfte aber für die meisten Menschen nur schwer verständlich sein.

Gerne würde ich da noch ein paar andere Meinungen hören. -- tsor 23:06, 9. Nov 2004 (CET)

Ok, ich seh schon: da hängt viel Herzblut dran! *g* Kein Problem. Ich schau einfach in paar Tagen nochmal rein und schau mal, ob sich wer anderes noch dazu geäussert hat.

Noch zum Thema: vielleicht kann man da auch so manches auslagern - z.B. Implikation, Konjunktion (Logik), Disjunktion, Äquivalenz, Logische Funktion. Die sind (in meinen Augen) alle noch nicht das gelbe vom Ei - könnte mir z.B. vorstellen, dass Konjunktion (Logik) sehr gut die Wahrheitstabelle etc. gebrauchen könnte.

Irgendwie passen die Artikel alle nicht 100% zusammen. Ich überleg mir was. -cljk 00:06, 10. Nov 2004 (CET)

Hab übrigens grad noch was feines gesehen - in dem englischen Artikel:

The vocabulary is composed of:

1. The capital letters of the alphabet. These abbreviate complete sentences which are atomic in the sense that they cannot be decomposed into smaller sentences.
2. Symbols denoting the following connectives (or logical operators): ¬, ∧, ∨, →, ↔

Was ich damit sagen wollte: die haben für alle Logischen Funktionen eine einzelne Seite, die hier alle aussehen wie Kraut & Rüben. Gruss -cljk 00:15, 10. Nov 2004 (CET)

Bin neu bei wikipedia und ganz begeistert davon, was hier geschaffen wird.
Möchte auch mein Scherflein beitragen.

Heute habe ich ein bisschen in den Abschnitten "Konjunktion" und "Disjunktion" rumgefummelt, ein paar Schreibfehler verbessert und, wie ich meine, den Aufbau etwas durchsichtiger gemacht.
Wenn keiner was dagegen hat, ändere ich die folgenden Abschnitte demnächst auch noch in diesem Sinne.

Zu der Frage "Was noch fehlt":

Natürlich ist das Ganze "Klassische Aussagenlogik", wie sich schon an dem Satz zeigt: "Eine Aussage ist entweder wahr oder nicht wahr, auch wenn man (noch) nicht in der Lage ist, den Wahrheitsgehalt zu beurteilen." - Darüber, ob das nun w oder f ist, haben sich ja schon ganze Logiker-Generationen in die Haare gekriegt. Im Sinne der Neutralität werde ich das nächstens in einer Anmerkung relativieren; ich hoffe ihr akzeptiert das. Ich setze dann auch einen Link auf den nicht exisiterenden Artikel "Intuitionistische Aussagenlogik" - aber ob ich in absehbarer Zeit dazu kommen, den auch zu schreiben...?

• • Sorry, ich hatte vergessen, zu signieren: -- 81.210.152.97 19:48, 8. Feb 2005 (CET)

nochmal: Klassisch/nicht-klassisch

Ich möchte ja niemandem ins Gehege kommen, und schon garnicht Paul Conradi. Trotzdem fände ich es besser, wenn wir den Artikel über klassische Aussagenlogik einen solchen sein lassen und andere Ansätze (die ich sehr wichtig finde!) an geeigneter Stelle darstellen (z.B. unter dialogische Logik). Unser Artikel hier bemüht sich sehr um Allgemeinverständlichkeit, und da verwirren solche Gesichtspunkte eher. Heute habe ich deshalb den Abschnitt "Dialogische Logik" gelöscht und dafür einen Hinweis in den Vorspann geschrieben. Ich hab das gemacht, bevor ich bemerkt hatte, dass Paul C. auch gerade an dem Artikel arbeitet. Ich bleib aber dabei, denn ich finde das klarer und für den, den diese Aspekte interessieren, auch besser zu finden. -- 81.210.158.250 22:00, 11. Feb 2005 (CET)

Das ist einleuchtend, was Du schreibst. Verständlichkeit geht vor, finde ich. -- Paul 12:00, 12. Feb 2005 (CET)

Formal

Ich finda das die Seite inhaltlich gut aufgebaut ist. Doch nach meinem Empfinden stellt sich der Inhalt sehr unuebersichtlich dar.

Ich bin deshalb der Meinung Sie sollten nicht nur die negierten Aussagen als Bild darstellen sonder allg. alle Aussagen bzw. Variablen als Bild einfügen oder zumindest einheitlich bleiben.

Was nach meiner Meinung eine bessere Fokusierung auf die primären Inhalte zur Folge hätte.

Hier: Werden einmal die Aussagen mit Indizes als Text und kurz darauf als Bild dargestellt.

Wurden Sie bei Bildern bleiben koennte dies gegbenenfalls den Lesekonfort steigern.

--3unt 13:47, 8. Apr 2005 (CEST)

komische tabellen

innerhalb des artikels existieren viele tabellen der form:

$A$	$\neg A$
falsch	wahr
wahr	falsch

ich finde, diesen Tabellen fehlt noch der Feinschliff, sie zeigen nur die Wertemenge, nicht die Definitionsmenge - und es ist auf dem ersten blick nicht klar, wie man sie lesen soll (von oben nach unten, oder von links nach rechts). Danke, --Abdull 18:57, 2. Mai 2005 (CEST)

Ich find´ die auch nicht prickelnd... aber welche Definitionsmenge meinst Du?

Verneinung einer und-verknüpften Aussage

Das Beispiel ist sprachlich und ontologisch unklar. Man müßte die Klammern sprachlich mit ausdrücken.

Verneinung: n ist nicht durch 2 und durch 3 teilbar.

Vorschlag: Verneinung: n ist nicht gleichermaßen durch 2 und durch 3 teilbar.

"durch 2 und durch 3 teilbar" ist ein Begriff "durch-2-und-durch-3-teilbar". .

Sonst versteht man es nur wegen der verneinten oder Verknüpfung.--Roomsixhu 01:50, 10. Okt 2005 (CEST)

ein paar Anregungen

Die Behauptung "Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch." ist irreführend. Der Wahrheitswert einer Aussage hängt ganz wesentlich vom Modell ab, in welchem man die Aussage interpretiert, bzw. von der Wahrheitswertbelegung der propositionalen Konstanten. Die obige Aussage suggeriert jedoch, dass dies unabhängig vom Modell sei.

also es mag AFAIK unter Umstaenden einen Unterschied zwischen Sematik und Syntax geben, aber jeder Satz ist entweder wahr oder falsch jedenfall in der klassischen logik, oder aber eine Formel ist ableitbar, und wenn wir die Vollstaendigkeit bewiesen haben, dann sind diese beiden Dinge aequivalent, oder?

PunkRock 10:19, 29. Nov 2005 (CET)

Darüber hinaus ist die klassische Aussagenlogik nicht automatisch zweiwertig. Jeder Boole'sche Verband kann als Wahrheitswertsemantik für die klassische Aussagenlogik dienen, und in mehrwertigen Modellen ist die oben genannte Aussage sogar falsch. Das Tertium non datur lautet dann "A v ~A", was lediglich bedeutet, dass das Supremum von A und ~A zu "true" denotiert, was aber nicht bedeutet, dass A "true" oder "false" ist.

das ist nicht richtig, die Zweiwertigkeit und die Extensionalitaet muessen fuer jede klassische logik, und das ist die aussagenlogik, gelten.

PunkRock 10:19, 29. Nov 2005 (CET)

Ich denke nicht, dass das alles in den Artikel gehört, der soll ja schließlich allgemeinverständlich sein, aber man sollte die dinge nicht so sehr vereinfachen, dass sie falsch werden, und sollte bei Vereinfachungen auch darauf hinweisen, dass es sich um Vereinfachungen handelt.

Desweitern kommt das worum es in der Logik wesentlich geht, nämlich das herleiten von Urteilen, viel zu kurz. Es wird fast nur auf den syntaktischen Formalkram eingegangen, die Verbindung zwischen Syntax und Semantik kommt sehr kurz, und von einem Kalkül und den ganz zentralen Begriffen Korrektheit und Vollständigkeit ist fast gar nichts zu finden.

Die Abgrenzung zwischen der philosophischen und der mathematischen/formalen Logik ist m.E. nicht deutlich genug. In der mathematischen Logik macht eine Aussage wie "München ist so-und-so-weit von Hamburg entfernt" nicht viel Sinn, weil die Interpretation der Aussage in einer Erfahrungswelt geschieht (und nicht in einem mathematischen Modell). Aus der philosophischen Logik heraus wird auch klar, dass diese Aussage über ihre Wahrheitswertsemantik hinaus noch sehr viel mehr Information trägt (die Entfernung zwischen München und Hamburg, von denen wir obendrei noch Wissen, dass es sich um Städte in Deutschland handelt, uvm.). Diese zusätzliche Information ist notwendig, um der Aussage ihren Wahrheitswert in der Erfahrungswelt zuzuordnen, d.h. wir schauen dabei schon sehr tief in das innere der Aussage, während es in der Aussagenlogik meines Wissens nach um "abstrakte" Aussagen geht, unabhängig von jeder inneren Bedeutung, reduziert auf Interpretationen in einer Wahrheitswertsemantik.

Hallo Zusammen; ich finde eure Arbeit echt toll.;-)

Aber ich habe da eine Bitte! Ihr solltet mal darüber nachdenken, dass auch Unstudierte diese Seiten über Logik lesen. Spätestens nach dem Dritten abtauchen(von einem LINK zum Nächsten, weil die deutsche Übersetzung der Worte fehlt) verliert man den Faden und schaltet ab. Ich weiß, es ist nicht immer möglich die deutsche Übersetzung in Klammern dahinter einzublenden, aber man sollte es vielleicht versuchen. Das Thema an sich ist doch schon schwierig genug.

Gruß EM

Axiomatik der Aussagenlogik

Kann mir mal jemand eine Axiomatik hinschreiben und ein wenig erläutern? Hier steht eine: Axiomatik der Aussagenlogik

U1 $A\rightarrow (B\rightarrow A)$

U2 $(A\rightarrow (B\rightarrow C))\rightarrow ((A\rightarrow B)\rightarrow (A\rightarrow C))$

U3 $(\neg A\rightarrow \neg B)\rightarrow (B\rightarrow A)$

U4 ${\frac {A\;\;\;A\rightarrow B}{B}}$

Der Strich bei U4 bedeutet Unteres folgt aus Oberem.

Zu U4: Aus A und der Implikation (der Formel) aus $A\rightarrow B$ oder umgangssprachlich, wenn A, dann B, läßt sich B "abtrennen", gewinnt man die Ableitung, die Regel, den Beweis B --Roomsixhu 01:16, 19. Okt 2005 (CEST) vebessert, weiteres siehe Axiomatik der Aussagenlogik--Roomsixhu 17:18, 14. Dez 2005 (CET)

Das ist nicht ganz korrekt, man spricht oben bei U4 beim Modus Ponens oder auch von der Abtrennungsregel, man kann zwar auch folgt sagen, wuerde aber etwas anderes falsches damit sagen, denn die Folgerung ist ein semantischer Begriff. Besser waere in einer Syntaktischen Sprache von ableitbar zu sprechen. das ist dann korrekt -- PunkRock 10:19, 29. Nov 2005 (CET)

Das gebe ich sofort zu. Da wo ich das hier her habe, benutzen sie auch sauber die Abtrennungsregel und haben auch das Gegenstück, eine Deduktionsregel. Weiter ist zu unterscheiden, warum in der Aussagenlogik alle Terme (hier nicht näher erklärt) auch gleichzeitig Formeln sind (und umgekehrt), das ist nicht selbstverständlich und warum es nur Verknüpfungszeichen (insbesondere $\rightarrow$) gibt, keine Beziehungszeichen wie in einer Halbordnung ($\leq$) oder einem vollständigem booleschen Verband (oder Algebra (=)). Schließlich führen sie dort noch ein Urteilsprinzip ein, um aus einem vollständigem booleschem Verband eine Aussagenlogik zu machen.--Roomsixhu 02:12, 14. Dez 2005 (CET)

Extensionalitaet und Zweiwertigkeit

Hm, also um mich selber in die Diskussion mit einzumischen: Wie kann es sein, und da widerspreche ich einem meiner Vorschreiber, dass die zwei fundamentalen Eigenschaften der klassischen Logik, das Extensionalitaetsprinzip und das Zweiwertigkeitsprinzip nicht aufgefuehrt werden. BTW. Sollte eines dieser Fundamentalen Prinzipen fehlen, dann befinde ich mich nicht mehr in der klassischen Logik Punktum! AFAIK gibt es auch nur eine Aussagenlogik und nicht eine die in der Logik und eine die in der Mathematik benutzt wird.

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PunkRock 10:19, 29. Nov 2005 (CET)

Materiale Implikation

Die Beispiele sind nicht ganz schlüssig, da es Ausnahmen gibt, ich meine die Beispiele mit Regen und Straße.

Es regnet -> Straße ist nass

Dies ist falsch für Strassen in Tunneln, oder wenn der Regen lokal fällt aber nicht auf die Strasse kommt.

Wenn Straße nass, dann regnet es.

Dies ist falsch wie weiter untern bei "Umkehrschluss" hingewiesen wird. Die Strasse könnte wegen Rohrbruch oder der Feuerwehr nass sein.

Schlage daher vor, diese Beispiele ersatzlos zu streichen.

Bei der materialen Implikation sind Umkehrschlüsse genau dann falsch, wenn gilt: (A <=> B) = f. Dies ist bei allen Beispielen der Fall. Außerdem tauchen in der Liste Umkehrschlüsse auf, die nicht der angegebenen formalen Definition entsprechen.

Werde mir das noch etwas durch den Kopf gehen lassen und den Abschnitt später etwas umarbeiten.

--Chris1714 20:13, 15. Dez 2005 (CET)

Hi!

Zum ersten Punkt: Es geht nicht um die Frage, ob der Satz "Wenn es regnet, ist die Straße nass" wahr ist; es geht darum, ein Beispiel für ein Konditional zu nennen. Dass die Aussage in vielen gängigen Lesarten dann doch wahr ist, ist mehr ein Zufall.

Zum zweiten Punkt: Der Satz heißt "Nur wenn die Straße nass ist, regnet es". Das drückt eine notwendige Bedingung aus. P ist genau dann eine hinreichende Bedingung für Q, wenn Q eine notwendige Bedingung für P ist. Anhand des konkreten Beispiels: Die Sätze "(Schon) wenn es regnet, ist die Straße nass" und "Nur wenn die Straße nass ist, regnet es" sind äquivalent. Das ist ein wichtiger Zusammenhang, der im Text dargelegt wird.

Der Umkehrschluss, der natürlich tatsächlich falsch ist, wäre der Schluss von "(Schon) wenn es regnet, ist die Straße nass" auf "(Schon) wenn die Straße nass ist, regnet es."

--GottschallCh 21:16, 15. Dez 2005 (CET)

Schon brauchbar?

Ich möchte einmal die Grundsatzfrage zur Diskussion stellen, ob der Artikel in der überarbeiteten Fassung schon brauchbar ist.

So weit ich das sehe, enthält er keine groben Fehler mehr (davon waren in der alten Fassung leider welche enthalten), ist er relativ systematisch strukturiert und ist er hinsichtlich keiner Richtung oder Meinung parteiisch. So wird zum Beispiel (weil das weiter oben zur Diskussion stand) Aussagenlogik nicht mit dem formalistischen Standpunkt identifiziert ("ist ein Tupel"), wird dieser aber sehr wohl und ebenso prominent wie die anderen Richtungen im Grundlagenstreit genannt, sodass die Lesenden von Seiten des Artikels nicht in eine bestimmte Richtung gedrängt werden (hoffe ich).

Mit vielen Formulierungen bin ich nicht ganz glücklich, viele Themen sind etwas knapp behandelt und einige - meines Erachtens - zu ausführlich: Für die beiden Instanzen der Gesetze von DeMorgan (verneinte Konjunktion und Disjunktion) hätte ich nicht so viel Platz investiert, entweder hätte ich versucht, sie theoretisch zu erklären und die beiden für die Aussagenlogik relevanten Instanzen aufgezählt; oder ich hätte sie ganz weggelassen. Umgekehrt finde ich sie aber nicht schädlich für den Lesefluss und hat sich der/die ursprüngliche Autor/in damit so viel Mühe gemacht, dass ich es schade fände, sie zu entfernen.

Was man noch hinzufügen könnte, wären konkrete Schlussregeln und Axiome, vielleicht sogar ein konkreter Kalkül. Ich selbst habe aus Angst, dass es zu lang und umfangreich werden, nicht oder noch nicht getan.

--GottschallCh 12:04, 16. Dez 2005 (CET)

Tach, ich bin der Neue :-)

Ich denke, es wäre gut, wenn man hier auch ein Entscheidungsverfahren/einen Kalkül für die klassische Aussagen Logik finden könnte. Allerdings, wenn man einen hier reinstellt, stellt sich die Frage warum nun diesen, und nicht jenen.

Vielleicht sollte man eine extra seite für die Kalküle anlegen (Wie auch immer das geht. Muss ich mir erst ansehen.), da hat man dann genug Platz für vielleicht

• semantische Entscheidungsverfahren
  • Vollständige Matritzenmethode
  • verkürzte Matritzenmethode)
• syntaktische Entscheidungsverfahren
  • Hamiltonkalkül(e)
  • Tableaukalkül(e)
  • System(e) natürlichen Schließens (SNS)
  • vieleicht sogar Systeme im Gentzenstil

UND (denn das ist auch in dem Artikel über Prädikatenlogik nicht zu finden)

• Erweiterung obiger Kalküle für die Klassische Prädikatenlogik

Oder wäre das des Gutem zu viel?

--Alimantando 14:39, 16. Dez 2005 (CET)

Ein Hinweis auf die Polnische Notation wäre vielleicht auch nicht schlecht. Ich sehe nur nicht so recht, wo der hinpassen würde.

--Alimantando 15:06, 16. Dez 2005 (CET)

Steht der Begriff funktionale Vollständigkeit schon irgendwo?

--Alimantando 16:12, 16. Dez 2005 (CET)

Hallo! Ich bin auch relativ neu, deshalb noch der Enthusiasmus. ;-)

Alle Themen, die du ansprichst, finde ich sehr behandlungswert. In erster Linie auf jeden Fall in Einzelartikeln: Da gibt es schon einige, eventuell kannst du dich umschauen und die Artikel verlinken.

Die Kalküle, die du nennst, verdienen alle einen eigenen Artikel, finde ich. Auf diese Einzelkalküle sollte dann der Artikel Kalkül, den es schon gibt verlinken. Direkt in den allgemeinen Aussagenlogik-Artikel würde ich nach Möglichkeit keine allzu konkreten Kalküle hineinschreiben, weil es sonst zu lang und zu unübersichtlich wird. Wichtig wäre, dass der allgemeine Artikel beschreibt, worum es bei Kalkülen geht, und dass er auf Kalkül verweist. Das tut er im Prinzip schon, aber ich weiß nicht, ob er es deutlich und prominent genug macht.

Funktionale Vollständigkeit ist in anderen Artikeln beschrieben, konkret z.B. in Junktor. Ich finde aber durchaus, dass man dieses Thema auch im Semantik- oder im Metatheorie-Kapitel des allgemeinen Aussagenlogik-Artikels erwähnen und kurz beschreiben könnte.

Neben polnischer Notation würde mir eine Erwähnung von umgekehrter polnischer Notation, Begriffsschriftnotation und Peirceschen Alphagraphen gefallen. Mir ist nur nicht eingefallen, wo und wie ich die im allgemeinen Aussagenlogikkapitel anbringen könnte. ;-) Ich habe mich zwar bemüht, darauf hinzuweisen, dass es viele verschiedene Arten von Kalkülen gibt, den Unterschied aber vor allem hinsichtlich der Axiome und Schlussregeln festgemacht. Die fundamentalen Unterschiede, die schon hinsichtlich der Bausteine und Formationsregeln möglich sind, sollte man wirklich irgendwie unterbringen. Schauen wir einmal, ob einer von uns eine gute Idee hat, wie man das unterbringen kann.

--GottschallCh 17:29, 16. Dez 2005 (CET)

Es gibt den Artikel Kalkül, der so in seiner Allgemeinheit eigendlich ganz o.k. ist. Worauf er allerdings verlinkt ist größtenteils unter aller Sau. Der Link Prädikatenkalkül führt zu Prädikatenlogik. Was das unter Aussagenkalkül soll ist mir völlig unklar.

Es gibt schon einen Artikel zu Gentzenkalkül bzw. Sequenzenkalkül. Das ist schon mal gut. Dieser behadelt aber nur die klassische Variante. Es gibt aber auch Sequenzenkalküle für intuitionistische Logik, Modallogiken, linearen Logiken, resourcenbewusten Logiken, parakonsistenen Logiken, Relevanzlogiken, ... Nichts davon zu lesen. Außerdem fehlen die Strukturregeln.

Ähnlich unvollständig ist der Artikel Hilbertkalkül.

Semantische Entscheidungsverfahren für die kAL fehlen ganz.

Darum war meine Idee, ersteinmal einen Artikel zu machen, der Anwendungen verschiedener Kalkültypen für die klassische Logik behandelt und später sich Gedanken darüber zu machen, die Artikel für die einzelnen Kalküle im allemeinen richtigzustellen. :-)

--Alimantando 18:07, 16. Dez 2005 (CET)

Am wichtigsten erschiene es mir, zu erklären, was die einzelnen Kalkültypen sind und worin sie sich unterscheiden. Das ist in Kalkül nur ansatzweise gemacht (axiomatisch versus regelbasiert), ließe sich dort aber sicher ganz gut ausbauen.

Ob und welche konkreten Instanzen der einzelnen Kalkültypen man angeben soll, ist eine gute Frage. Ein Beispiel wird man auf jeden Fall brauchen, um den Sachverhalt zu illustrieren. Dafür ist halt eine möglichst klassische Logik ein ganz guter Ansatzpunkt, weil reich an Anwendungen, relativ einfach und andererseits zum Verständnis anderer Systeme eine gute Basis. Ebensogut könnte ich mir aber vorstellen, dass man z.B. unter "Regelkalkül" einen Minimalkalkül angibt und dann erwähnt, wie man ihn für klassische Logik erweitern kann.

Für meinen Geschmack würde man in einem Artikel zu einem bestimmten Kalkültyp eher nicht Beispiele für viele Logiken angeben, sondern nur anmerken, für welche nichtklassischen Logiken dieser Kalkültyp gerne verwendet wird und welche seiner Regeln dafür üblicherweise modifiziert werden. Insofern man konkrete Kalküle angeben will, würde ich die eher dann zum Artikel über die jeweilige Logik aufnehmen, z.B. in Modallogik konkrete axiomatische Kalküle, Regelkalküle usw. für die Modallogik angeben. Unter Kalkül stünde dann zum Beispiel nur, dass es Regelkalküle gibt, was ihre Eigenschaften sind und wie sie von anderen Kalkültypen abgegrenzt sind, und dass sie gerne für klassische Logik, für Modallogik usw. verwendet werden.

Die Abgrenzungen sind aber sicher sehr vage, und wenn sich jemand die Mühe macht, z.B. einen ausführlichen Artikel über Baumkalküle zu schreiben und dort Baumkalküle für mehrere logische Systeme anzugeben, fände ich das durchaus nicht unangemessen.

Deine Eingangsbemerkung, "Worauf er allerdings verlinkt ist größtenteils unter aller Sau", kann ich übrigens voll und ganz unterschreiben. Das war der Grund, warum ich zu schreiben begonnen habe - wobei ich allerdings eher schon auf dem Weg in Richtung Resignation bin, weil gerade bei den logischen Artikeln wirklich so gut wie jeder Klick auf einen Link einen zu einem Text führt, an dem dringend etwas geändert werden müsste. Seufz.

--GottschallCh 18:44, 16. Dez 2005 (CET)

Ein Versuch eines Anfangs eines Versuches: Entscheidungsverfahren (klassische Aussagenlogik)

Keine Ahnung, ob es was wert ist. Wenn nicht, kommt es halt wieder weg.

--Alimantando 18:34, 16. Dez 2005 (CET)

Nein, das ist so nicht sinnvoll. Der Artikel ist nicht verlinkt und wird mit diesem Lemma auch nie gefunden werden. Sinnvoller wäre es, die Informationen irgendwie in Entscheidungsverfahren zu integrieren bzw von dort aus zu verlinken. --Zinnmann d 20:15, 16. Dez 2005 (CET)

Brauchbar? Kryptisch versus zuviel

Hallo, ich habe eher wenig Ahnung. Aber hier hat sich jemand mit der Syntax der Aussagenlogik als Beispielanwendung für Logik überhaupt auseinandergesetzt. Syntax.

Ich habe auch die vier obigen wohl Aussagenlogischen Axiome U 1-4 hineinkopiert. Es ist doch so, daß sie in ihrer Kürze sehr kryptisch sind, und nur der schon Eingeweihte etwas daraus herauslesen kann. Die U's kommen daher, daß Aussagen als Urteile mit einem Behauptungswert (1 oder 0) gesehen werden. Dies beiden Konstanten sind dann dual zueinander. Die Aussagenlogik ist nach obigem Artikel ein zweiwertiger Boolescher Verband mit eben einem Urteilsprinzip.

Hier gibt es etwas ganz allgemein zum Kalkülvergleich. Kalkülvergeleich. Der dort vorgelegte Begriffslogikkalkül ist, glaub ich, ein Baumkalkül. s.o.

Semantik bedeutet meist nur ein Verschieben eines Problems in die Umgangsspr ache.

Daher untersuchen die zitierten Stellen auch die Syntax und stellen folgendes fest:

Es gibt Beziehungszeichen: z.B. $\leq ,\;=,\;\rightarrow$ und

Verknüpungszeichen: $\vee ,\;\wedge ,\;\neg$

In der Aussagenlogik sind alle Beziehungszeichen auch Verknüpfungszeichen geworden. Vor allem der Übergang der Negation zum Verknüpfungszeichen ist interessant.

Dann werden noch Terme und Formeln unterschieden und auch hier sind in der Aussagenlogik alle Terme Formeln.

Das kommt durch die Zweiwertigkeit und die "Wahrheitsfunktion" (Urteilsprinzip).

Für das Verständnis der ganzen Sache fand ich eine vollständige Herleitung sehr illustrativ. Man fängt mit einem vollständigem Booleschem Verband oder einer Halbordnung, an baut einen Logikkalül daraus auf, stellt einen Zusammenhang zwischen Ableitbarkeit und kalkülinterner Beziehung $\leq$ her, und bindet es mittels eines Urteilsprinzips $1\leq A$, zu lesen als "A ist wahr", an die Aussagen- und Prädikatenlogik an. Hier wäre ein Hinweis zur Endlichkeit von Logikkalkülen hilfreich.

Wenn man nämlich die etwas seltsamen weil dualen Rechenregeln des Booleschen Verbandes geschluckt hat, kann man damit schon sehr viel in der Aussagenlogik anfangen.

Schließlich kann man sich aussagenlogische Sachverhalte in verschiedenen Kalkülen ansehen. Man sieht,daß alle, Mengenlehre, Begriffslogik, Venndiagramm und Aussagenlogik Vollständige Boolesche Verbände sind. Wenn man dann noch den Übergang Halbordnung zu Booleschem Verband erläutert bekommt, hat man schon etwas Überblick. $a\leq b$ wird dabei durch $a\sqcap b=a$ oder kürzer ab=a ausgedrückt, Supremeum und Infimum und größtes und kleinstes Element, 1 und 0, werden eingeführt.

In diesem Sinne sind doch Junktoren nur Verknüpfungszeichen einschließlich zu solchen gewordene Beziehungszeichen. Formeln sind mit den letzen Bausteinen zur Aussagenlogik zu Formeln gewordene Terme.

Deshalb ist die U 1-4 Axiomatik so kryptisch und das nicht-auschließende od er schlecht einfach zu motivieren. Der Begriff dual wäre hilfreich. Interessiert das jemanden?--Roomsixhu 04:53, 17. Dez 2005 (CET)

Nun ja.

Es ist mitten in der Nacht, und ich nur bedingt zu zusammenhängendem Denken in der Lage.

• U4 ist kein Axiom sondern eine Schlussregel.
• Die Restklassenzerlegung der Menge aller Formeln bezüglich semantischer Äquivalenz, zusammen mit den dafür angepassten Operatoren bilden einen Booleschen Verband. Die Aussagenlogik selbst ... *hm* ... syntaktisch gesehen eher nicht.

Der dort aufgeführt Be

weis vermischt Syntax und Semantik.

Überhaupt der ganze Artikel tut das imho.

• Semantik ist mit Sicherheit nicht ein Verschieben des Problem in die Umgangssprache.

--Alimantando 05:43, 17. Dez 2005 (CET)

Ich stimme Alimantando zu. Dass aus algebraischer Sicht Aussagenlogik eine Boolesche Algebra ist, steht zudem ohnehin im Aussagenlogik-Artikel.

Klar kann man klassische aussagenlogische Sachverhalte begriffslogisch ausdrücken. Man kann aussagenlogische Sachverhalte zum Beispiel auch in der Prädikatenlogik oder in der Modallogik ausdrücken - generell sind sehr viele logische Systeme echte Erweiterungen der klassischen Aussagenlogik (umgekehrt lässt sich ja auch Begriffslogik prädikatenlogisch deuten). Diese Tatsache ist im Aussagenlogik-Artikel klar ausgedrückt, bzw. falls sie nicht klar ausgedrückt ist, bitte überarbeiten und besser herausarbeiten.

Die angeführten Begriffslogik-Webseiten halte ich für keine gute Quelle zur Erklärung der Aussagenlogik, weil sie die Begriffslogik erklärt und dann später die Aussagenlogik darauf abbildet. Man muss also ein formal komplizierteres System lernen, um ein einfacheres System erklärt zu bekommen; und dabei bekommt man dann noch etwas ganz Wichtiges falsch erklärt, eben weil der eine zitierte Text dort den Unterschied zwischen Axiom und Regel nicht kennt.

Insgesamt würde ich dafür plädieren, Begriffslogik im Artikel Begriffslogik zu behandeln und in Aussagenlogik bei der Darstellung von Aussagenlogik zu bleiben. ;-)

--GottschallCh 13:34, 17. Dez 2005 (CET)

Die Axiomatik soll dazu dienen alle Tautologien und nur Tautologien abzuleiten.

Da die Aussagenlogik eine spezielle Begriffslogik ist, finde ich sie ehrlich gesagt komplizierter, und Begriffe lassen sich in ihr nicht ausdrücken. Eure Bemerkungen über das tertium non datur sind auch mit Vorsicht zu genießen.

Ad komplizierter: Nach diesem Argument wäre klassische Aussagenlogik auch komplizierter als Modallogik, komplizierter als Prädikatenlogik und komplizierter als mehrwertige modale Prädikatenlogik, weil sie ein Spezialfall von jenen ist.

Darum geht es aber ohnedies nicht. Dass im Aussagenlogik-Artikel Aussagenlogik behandelt werden muss, scheint mir relativ klar. Diskutieren kann man höchstens darüber, welche Aussagenlogik behandelt werden soll. Im Artikel wird begründet, warum er klassische Aussagenlogik behandelt. Wie es sich für eine Enzyklopädie gehört, findet keinerlei Wertung statt. Die Frage, "welche Logik besser ist", hat da nicht beantwortet zu werden, sondern wird vielmehr als Frage im Abschnitt "Abgrenzung und Philosophie" thematisiert.

Ad tertium non datur: Welche Bemerkungen sind mit Vorsicht zu genießen, und was genau bedeutet das? Dass sie falsch sind? Dass sie umstritten sind? Wenn im Artikel Satz vom ausgeschlossenen Dritten irgendetwas Falsches stünde, müsste das korrigiert werden. Ich habe den Artikel aber eben noch einmal durchgelesen und finde darin nur Gesichertes. --GottschallCh 02:38, 18. Dez 2005 (CET)

Sorry, ich bin wirklich kein Logiker, aber der Deutung von Begriffen in der Aussagenlogik sind schon Grenzen gesetzt. Außerdem ist wie in klassischer Logik erwähnt nicht die Zweiwertigkeit entscheidend sondern das Urteilsprinzp. Aussage ist auch terminologisch ein Mittelding, das nicht zu seinem Urteilscharakter steht. Es war nur als Vorschlag gemeint.

Moment mal, in der Aussagenlogik geht es überhaupt nicht um Begriffe. Und klassische Logik ist wirklich definiert als zweiwertig und extensional; der Begriff "klassische Logik" wird allerdings gelegentlich in einem historischen Sinn gebraucht (Klassik=Antike), und in der Antike wurde auch nichtklassische Logik betrieben. Das steht aber auch im Artikel zur klassischen Logik. ---GottschallCh 02:38, 18. Dez 2005 (CET)

Zugegebenermaßen sind die Neuschöpfer der Begriffslogik Kritiker der Wiener Schule und der Wittgensteinschen Matrizenmethode und einiger anderer Antinomien, damit stehen sie aber längst nicht mehr allein da. Schließlich ist die Aussagenlogik spezieller als die Begriffslogik, Man kann in die Begriffslogik schon viel früher einsteigen (z.B unverneint) als in die Aussagenlogik. Die Aussagensagenlogik hat jetzt den Vorteil, daß sie 100 Jahre früher vollständig durchgebildet ist, die Begriffslogik in diesem Maße seit ca. 1985 und 1996.

Wie gesagt, wir führen hier keine Diskussion darüber, "welche Logik besser" ist (bzw. sollten das nicht tun). Der Artikel "Aussagenlogik" soll die Aussagenlogik beschreiben, nicht ein anderes System.

Den Ausdruck "unverneint in eine Logik einsteigen" verstehe ich nicht. ;-)

Dass Personen, die eine Begriffslogik formalisiert haben, Personen kritisieren, die eine Aussagenlogik formalisiert haben, hat keinen Einfluss auf die Korrektheit der jeweiligen logischen Systeme, die sich formal entscheiden lässt und bezüglich derer keine Meinungsunterschiede möglich sind. Meinungsunterschiede sind - aber auch das steht relativ ausführlich im Artikel, Kapitel "Abgrenzung und Philosophie" - hinsichtlich der pragmatischen Frage möglich, welches logische System sich für welchen Zweck einsetzen lässt; und hinsichtlich der philosophischen Frage, welches System metaphysisch richtig ist. Die möglichen Antwortrichtungen sind im genannten Kapitel skizziert. --GottschallCh 02:38, 18. Dez 2005 (CET)

Mein Problem mit der Semantik habe ich nur erwähnt, weil sie mir nicht weiterhalf und die Umgangsprache als sehr starker Kalkül, in dem auch widersprüchliches ausgedrückt werden kann, aufgefasst werden kann.

Die Umgangssprache ist jedenfalls kein Kalkül in dem Sinn, in dem das Wort "Kalkül" normalerweise gebraucht wird. Für die Umgangssprache sind keine Axiome und Schlussregeln aufgestellt, und selbst an Bausteinen und Formationsregeln beißt sich die Sprachwissenschaft (stichwort generative Grammatik) immer noch die Zähne aus. Unabhängig davon, ob natürliche Sprache ein Kalkül ist, sehe ich nicht wirklich einen Zusammenhang mit dem Aussagenlogik-Kapitel, sodass ich nicht finde, dass wir diese Frage dort thematisiern sollten. --GottschallCh 02:38, 18. Dez 2005 (CET)

Begriff, Identität, sind in der Aussagenlogik nicht gleichwertig darstellbar. Das tertium non datur, als Motivierung von Idenität muß man auch nicht unerklärt hinnehmen. Und zur Anschauung: Venndiagramme taugen auch für die Aussagenlogik sind sogar anschaulich und sind vom Prinzip her zu verallgemeinern.

Richtig, Aussagenlogik behandelt keine Begriffe und keine Identität. Das wird im Artikel aber auch nirgends behauptet.

Was tertium non datur und Identität miteinander zu tun haben und wie das eine das andere motivieren könnte, ist mir unklar; da Aussagenlogik nichts mit Identität zu tun hat, ist das aber meines Erachtens keine Frage, die in einem Artikel über Aussagenlogik angesprochen werden sollte.

Will sagen: Wir können in einem Artikel über einen Gegenstand nicht taxativ aufzählen, was der Gegenstand alles nicht ist. --GottschallCh 02:38, 18. Dez 2005 (CET)

U 4 ist die Abtrennungsregel, die zusammen mit ihrer Umkehrung der Deduktionsregel den Übergang vom Verband oder Halbordnung zum Kalkül und zurück gewährleistet, wobei im Kalkül Beziehungszeichen des Verbandes, der Halbordnung zu Verknüpfungszeichen wurden. Das muß man natürlich auch umgekehrt machen können, vom Kalkül der Aussagenlogik zurück zum Verband, der Halbordnung gelangen. Natürlich leistet die Mengenlehre nicht das, was die Aussagenlogik leistet. Die Abtrennungs- und die Deduktionsregel setze ich auch mit Vollständigkeit in Vebindung. Die Zuordnung der Aussagenlogik zum Verband ist in der Folge in obigem Syntaxlink mit Wahrheitswertetabellen bewiesen.

Dass U4 eine Regel ist (modus ponendo ponens), war uns schon klar. In dem genannten Artikel auf begriffslogik.de wird aber gerade behauptet, dass es ein Axiom sei ([2]). Solche unsauberen Begriffs(!)vermischungen sind zumindest für Anfänger/innen verwirrend, weshalb mir die begriffslogik.de-Seiten nicht als ideale Einführungsliteratur vorkommen. Abgesehen davon - wie gesagt - gibt es unzählige logische Systeme, die Erweiterungen der Aussagenlogik sind oder die als Erweiterungen der Aussagenlogik gedeutet werden können. Welches davon sollte man lernen, wenn man etwas über Aussagenlogik wissen möchte? --GottschallCh 02:38, 18. Dez 2005 (CET)

Was ich halt schade finde: Die Junktoren muß ich so hinnehmen. Warum sind sie schon Veknüpfungszeichen? Die Endlichkeit kommt nicht vor. Wann ist ein Gleichheitszeichen ein Beziehungszeichen? Veband und Halbordnung kommen erstmal mit viel viel weniger aus, da verliert man auch nicht den Überblick. Was hilft mir das Verständnis des nicht ausschließenden oder? Daß das jedem Lernenden nicht intuitiv eingänglich ist hat handfeste Gründe.

Welche Endlichkeit kommt wo nicht vor, und was genau heißt "hinnehmen"? Das Wesen eines Kalküls ist doch gerade, dass er Zeichen vorlegt und Regeln definiert, wie diese zu komplexen Ausdrücken zusammengesetzt werden. Das muss man in jedem Kalkül für jedes logische System hinnehmen. Auch in einem begriffslogischen Kalkül gibt es Zeichen und Formations- und Transformationsregeln.

Ein Kalkül hat aber nichts mit Metaphysik oder mit natürlicher Sprache zu tun. Ein aussagenlogischer Kalkül behauptet nicht, dass die Wirklichkeit zweiwertig ist und aus Aussagen besteht (was auch immer das bedeuten könnte); ein aussagenlogischer Kalkül behauptet auch nicht, dass die natürlichsprachlichen Sätze, die wir hier äußern, Aussagen und/oder zweiwertig sind. Das sind philosophische Fragen, die im Abschnitt "Abgrenzung und Philosophie" thematisiert werden.

Doch selbst dann, wenn man z.B. Zweiwertigkeit metaphysisch nicht hinnehmen kann, kann man immer noch zweiwertige Kalküle für bestimmte Anwendungsfälle verwenden, entweder als vereinfachtes Modell der nicht zweiwertigen Wirklichkeit oder für ein zweiwertiges Teilgebiet der Wirklichkeit. --GottschallCh 02:38, 18. Dez 2005 (CET)

Sonst find ich den Artikel auch schon sehr hilfreich und informativ. Gruß --Roomsixhu 00:50, 18. Dez 2005 (CET)

Mit dem algebraischen Begriff "Verband" - also einem Begriff aus einer hochabstrakten und hoch formalen Disziplin - würde ich persönlich mich in einem Einführungsartikel nicht sehr wohl fühlen. Dass die Semantik der klassischen Aussagenlogik aus Sicht der formalen Algebra eine zweiwertige Boolesche Algebra ist, steht ja in dem Artikel; aber die Sache umgekehrt anzugehen und ein konkretes logisches System dadurch zu erklären, dass man die algebraischen Eigenschaften seiner Semantik schildert, macht die Sache zwar für Formalwissenschaftler, z.B. Mathematiker und Informatiker eindeutig, wäre für laienhafte Lesende - glaube ich - nicht so gut.

Viele Grüße, --GottschallCh 02:38, 18. Dez 2005 (CET)

Verdammt, schon wieder mitten in der Nacht.

Wie GottschallCh sagte: "Dass die Semantik der klassischen Aussagenlogik aus Sicht der formalen Algebra eine zweiwertige Boolesche Algebra ist "

Betrachtet man die Menge aller Formeln unter einer festen Einsetzungsinstanz von 1 und 0 in die Aussagenvariablen, erhält man eine Halbgeordnete Menge mit nur zwei Elementen. 1 und 1.

Betrachtet man die Formeln als Funktionen aus der Menge der Einsetzungsinstanzen in die Menge {0,1} wird die Menge aller Formeln wieder zu einer, diesmal etwas interessantern, Halbgeordneten Menge, welche sich ordnungsisomorph auf die vorhergehende Halbordnung abbilden lässt.

Etwas sehr ähnliches, 1zu 1 abbildbares auf die Halbordnung hier drüber, erhält man, wenn man die Menge aller Formeln bezüglich semantischer Äquivalenz in Restklassen zerlegt, und die Junktoren entsprechend "anpasst".

Syntaktisch ist die Menge aller Formeln, wenn man $\rightarrow$ als $\leq$ liest nicht Halbgeordnet. Die Antisymmetriebedingung ist nicht erfüllt. Die Formeln p, p&p, pvp sind syntaktisch verschieden, semantisch aber äquivalent. Sie müssten in der Halbordnung "den selben Platz einnehmen". Das mag unwichtig erschien, oder spitzfindig. Es ist aber schließlich eine der Aufgaben, des Kalküls, zuersteinmal herauszufinden, dass zwei Formeln A und B semantisch äquivalent sind.

Man verliert außerdem Möglichkeiten, bestimmte syntaktisch motivierte modifizierungen der kAL zu betrachten.