Reduktionsverfahren von d’Alembert

Das Reduktionsverfahren von d'Alambert ist ein Verfahren aus der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen. Es wird verwendet um eine homogene lineare Differentialgleichung (n+1)-ter Ordnung mit einer gegebenen Lösung auf eine homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung zurückzuführen.

Verfahren

Voraussetzung: Sei $\sum _{i=0}^{n}p_{i}y^{(i)}(t)=0\!$ ein homogenes lineares DGL n-ter Ordnung und y₁ eine Lösung mit y₁ ≠ 0.

Da die Lösungen das Fundamentalsystems linear unabhängig sind folgt:

v = y y₁^-1 ist linear unabhängig zu y₁

Ansatz: $y=vy_{1}\!$

Eingesetzt in unsere DGL ergibt dies: $\sum _{i=0}^{n}p_{i}(vy_{1})^{(i)}(t)=0\!$

Durch die Anwendung des binomischen Satzes kann nach und v⁽ⁱ⁾ umgeformt werden:

$v\sum _{i=0}^{n}p_{i}y_{1}^{(i)}(t)+v'\sum _{i=1}^{n}{i \choose 1}p_{i}y_{1}^{(i-1)}(t)+\cdots +v^{(n)}p_{n}y_{n}(t)=0\!$

beziehungsweise: $v{\tilde {p_{0}}}+v'{\tilde {p_{1}}}+\cdots +v^{(n)}{\tilde {p_{n}}}=0\!$

Da ${\tilde {p_{0}}}$ aber genau unser betrachtetes DGL ist und y₁ ein Lösung davon, folgt $v{\tilde {p_{0}}}=0$ und es ergibt sich für v^' ein lineares homogenes DGL (n-1)-ter Ordnung.

Durch Substitution von v^' durch z erhalten wir schließlich: $\sum _{i=0}^{n-1}{\tilde {p_{i+1}}}z^{(i)}(t)=0\!$