Exakte Sequenz

mathematisches Teilgebiet
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Der Begriff der exakten Folge oder exakten Sequenz spielt eine zentrale Rolle im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra. Besonders wichtig sind die kurzen exakten Folgen.

Definition

Eine Folge

 

von

heißt exakt an der Stelle  , wenn

 

gilt, d.h. wenn das Bild eines Pfeils gleich dem Kern des nächsten ist. Eine längere Folge

 

heißt exakt, wenn sie exakt an den Stellen  ,   und   ist (analog für kürzere oder längere Folgen).

Beispiele

  • Eine Folge
 
ist genau dann exakt, wenn   ein Monomorphismus ist.
  • Eine Folge
 
ist genau dann exakt, wenn   ein Epimorphismus ist.
  • Für jeden Homomorphismus   von Vektorräumen (abelschen Gruppen, Moduln, jeden Morphismus einer abelschen Kategorie) ist die Folge
 
exakt. (Für beliebige Gruppen muss man noch voraussetzen, dass das Bild von   ein Normalteiler in   ist, so dass der Kokern existiert.)
  • Für eine Gruppe   seien
    •   das Zentrum,
    •   die Gruppe der Automorphismen,
    •   die Gruppe der inneren Automorphismen und
    •   die Gruppe der äußeren Automorphismen
von  . Dann ist die Folge
 
exakt. Der mittlere Pfeil ist dabei durch
 
gegeben.

Kurze exakte Folgen

Eine exakte Folge der Form

 

heißt kurze exakte Folge.

Eine kurze exakte Folge spaltet oder ist spaltend, wenn sie isomorph zu einer kurzen exakten Folge der Form

 

ist. Eine kurze exakte Folge spaltet genau dann, wenn

  •   einen Schnitt oder
  •   eine Retraktion hat.

Die jeweilige Abbildung heißt dann auch Spaltung der kurzen exakten Folge.

Aufspaltung einer langen exakten Folge

Jede lange exakte Folge lässt sich in kurze exakte Folgen zerlegen, indem man Kerne und Kokerne einfügt: Ist

 

eine exakte Folge, so sei

 

Dann gibt es kurze exakte Folgen

 

Ist   ein Kettenkomplex, so ist die Exaktheit der kurzen Folgen äquivalent zur Exaktheit der langen Folge.

Erweiterungen

Im Kontext einer kurzen exakten Folge

 

sagt man auch, dass   eine Erweiterung von   durch   ist.

Siehe Ext, Gruppenkohomologie

Siehe auch