Lie-Algebren-Kohomologie

In der Mathematik ist die Lie-Algebren-Kohomologie ein technisches Hilfsmittel, welches insbesondere in Differentialgeometrie, Mathematischer Physik und der Theorie der Lie-Gruppen Anwendung findet. Sie wird definiert als Kohomologie des Koszul-Komplexes. Für kompakte Lie-Gruppen ist die algebraisch definierte Lie-Algebren-Kohomologie der Lie-Algebra isomorph zur deRham-Kohomologie der Lie-Gruppe.

Definition

Sei ${\mathfrak {g}}$ eine Lie-Algebra. Auf der äußeren Algebra $\Lambda ^{*}{\mathfrak {g}}^{*}$ des dualen $\mathbb {R}$-Vektorraumes ${\mathfrak {g}}^{*}$ definieren wir für alle $k\in \mathbb {N}$ einen Operator

$d_{k}:\Lambda ^{k}{\mathfrak {g}}\rightarrow \Lambda ^{k+1}{\mathfrak {g}}$

durch

$d_{k}f(g_{1}\wedge \ldots \wedge g_{k+1})=\sum _{1\leq i<j\leq k+1}\left(-1\right)^{i+j-1}f(\left[g_{i},g_{j}\right]\wedge g_{1}\wedge \ldots {\hat {g_{i}}}\ldots {\hat {g_{j}}}\ldots \wedge g_{k+1})+\sum _{1\leq i\leq k}\left(-1\right)^{i}f(g_{1}\wedge \ldots {\hat {g_{i}}}\ldots \wedge g_{k+1})$.

Der Komplex $(\Lambda ^{*}{\mathfrak {g}}^{*},d_{*})$ heißt Koszul-Komplex. Für alle $k\in \mathbb {N}$ gilt

$d_{k}d_{k-1}=0$.

Die Lie-Algebren-Kohomologie von ${\mathfrak {g}}$ ist definiert als Kohomologie des Koszul-Komplexes, also als

$H^{k}({\mathfrak {g}}):=ker(d_{k})/im(d_{k-1})$.

Lie-Gruppen und Lie-Algebren-Kohomologie

Für eine Lie-Gruppe $G$ mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ ist der Koszul-Komplex kanonisch isomorph zum Komplex der $G$-invarianten Differentialformen auf $G$:

$(\Lambda ^{*}{\mathfrak {g}}^{*},d_{*})=(\Omega ^{G}(G),d)$,

die Lie-Algebren-Komologie von ${\mathfrak {g}}$ ist also isomorph zur Kohomologie des Komplexes $(\Omega ^{G}(G),d)$.

Elie Cartan hat bewiesen, dass für kompakte Lie-Gruppen die Inklusion

$\Omega ^{G}(G)\subset \Omega ^{*}(G)$

einen Isomorphismus der de-Rham-Kohomologie-Gruppen induziert. Für kompakte Lie-Gruppen $G$ gilt also

$H_{dR}^{*}(G)=H^{*}({\mathfrak {g}})$.