Quadratwurzel

Unter der Quadratwurzel einer Zahl $x$ versteht man in der Mathematik eine Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl $x$ ist. Das Symbol für die Quadratwurzel aus $x$ ist ${\sqrt {x}}$. Dabei wird die Zahl beziehungsweise der Rechenausdruck unter der Wurzel als Radikand bezeichnet. Möglich wäre auch die ausführlichere Schreibweise ${\sqrt[{2}]{x}}$. Außerdem kann man die Quadratwurzel als Potenz ausdrücken. $x^{\frac {1}{2}}$ ist gleichwertig zu ${\sqrt {x}}$.

Beispiel: Wegen $3^{2}=3\cdot 3=9$ gilt ${\sqrt {9}}=9^{\frac {1}{2}}=3$.

Bei der formalen Definition der Quadratwurzel sind zwei Probleme zu berücksichtigen:

• Wenn man sich auf rationale Zahlen beschränkt, dann ist die Quadratwurzel in vielen Fällen nicht definiert. Schon in der Antike fand man heraus, dass etwa die Zahl ${\sqrt {2}}$ keine rationale Zahl sein kann (siehe Euklids Beweis für Irrationalität von Wurzel 2).

• Im Allgemeinen existieren zwei verschiedene Zahlen, deren Quadrate mit einer vorgegebenen Zahl übereinstimmen. Beispielsweise wäre wegen $(-3)^{2}=(-3)\cdot (-3)=9$ auch die Zahl -3 ein möglicher Kandidat für die Quadratwurzel aus 9.

Das Symbol für die Quadratwurzel wurde zum ersten Mal während des 16. Jahrhunderts benutzt. Es wird vermutet, dass das Zeichen eine modifizierte Form des kleinen r ist, das als Abkürzung für das lateinische Wort "radix" (Wurzel) steht. Ursprünglich wurde das Symbol dem Radikanden vorangestellt; die waagerechte Verlängerung fehlte. Noch Carl Friedrich Gauß verwendete daher Klammern für kompliziertere Wurzelausdrücke und schrieb zum Beispiel ${\sqrt {}}(b^{2}-4ac)$ anstelle von ${\sqrt {b^{2}-4ac}}$.

Im Englischen wird die Quadratwurzel als "square root" bezeichnet, weshalb in vielen Programmiersprachen die Bezeichnung "sqrt" für die Quadratwurzelfunktion verwendet wird.

Quadratwurzeln aus reellen Zahlen

Definition: Die Quadratwurzel ${\sqrt {x}}$ einer nicht-negativen reellen Zahl $x$ ist diejenige nicht-negative reelle Zahl $r$, deren Quadrat $r^{2}=r\cdot r$ gleich $x$ ist.

Das oben erwähnte Problem, dass ${\sqrt {x}}$ nicht definiert sein könnte, tritt im Bereich der reellen Zahlen für $x\geq 0$ nicht auf. Auch die Eindeutigkeit ist gewährleistet, da negative Zahlen (z.B. -3) ausgeschlossen wurden.

Praktische Bestimmung von Quadratwurzeln aus reellen Zahlen

Selbst dann, wenn die Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl gezogen werden soll, ist das Ergebnis häufig eine irrationale Zahl, die sich durch einen nicht-periodisch unendlichen Dezimalbruch ausdrücken lässt. Es geht also oft nur darum, einen Näherungswert ausreichender Genauigkeit zu finden. Dazu gibt es eine Reihe von Möglichkeiten:

• Schriftliches Wurzelziehen: Hierbei handelt es sich um einen Algorithmus ähnlich dem gängigen Verfahren der schriftlichen Division.

• Intervallschachtelung: Dieses Verfahren ist recht leicht zu verstehen, wenn auch in der praktischen Durchführung sehr mühsam.

Beispiel (Näherungswert für ${\sqrt {2}}$):
Aus $1^{2}=1<2$ und $2^{2}=4>2$ folgt, dass ${\sqrt {2}}$ zwischen 1 und 2 liegen muss.
Daher probiert man $1{,}1^{2}$, $1{,}2^{2}$ usw. durch.
Aus $1{,}4^{2}=1{,}96<2$ und $1{,}5^{2}=2{,}25>2$ erkennt man, dass ${\sqrt {2}}$ zwischen 1,4 und 1,5 liegen muss.
Fortsetzung dieses Verfahrens mit immer mehr Nachkommastellen liefert schließlich einen Näherungswert mit der gewünschten Genauigkeit: ${\sqrt {2}}=1{,}41421356\ldots$

• Babylonisches Wurzelziehen oder Heron-Verfahren: Dieses Iterationsverfahren wird insbesondere von Taschenrechnern verwendet, da es schnell konvergiert.

• Die Taylorreihen-Entwicklung von ${\sqrt {x}}$ mit Entwicklungspunkt 1 kann mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes gefunden werden. Die Reihe konvergiert für $|x|<1$ punktweise gegen den Funktionswert der Wurzelfunktion.

${\sqrt {x+1}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1}(2n-2)! \over n!\;(n-1)!\;2^{2n-1}}x^{n}$

$=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots$

Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen

Für eine komplexe Zahl $z$ gibt es keine sinnvolle Möglichkeit, die Eindeutigkeit von ${\sqrt {z}}$ zu erzwingen. Man kann also für $z\neq 0$ nur von den beiden Quadratwurzeln der Zahl $z$ sprechen. Diese ergeben sich aus

${\sqrt {z}}={\sqrt {x+iy}}=\pm \left({\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|+x}{2}}}+i\cdot \mathrm {sign} (y)\cdot {\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|-x}{2}}}\right)$

Dabei steht sign($y$) für das Vorzeichen von $y$ und

$\left|z\right|=\left|x+iy\right|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

für den Betrag von $z$.

Ist $z$ in Polarkoordinaten gegeben, dann hat die Quadratwurzel die Darstellung

${\sqrt {z}}={\sqrt {|z|e^{i\left({\rm {arg}}(z)+n\cdot 2\pi \right)}}}={\sqrt {|z|}}e^{i\left({\rm {arg}}(z)/2+n\cdot \pi \right)},$

wobei $n$ die Werte 0 oder 1 annehmen kann.

Der Betrag der beiden Wurzeln ergibt sich demnach als die Wurzel aus dem Betrag der komplexen Zahl. Bei der Lösung mit $n=0$ wird das Argument (in der komplexen Zahlenebene also der Winkel zwischen dem Radiusvektor und der reellen Achse; sein Tangens ist das Verhältnis von Imaginär- zu Realteil) halbiert. Die andere Lösung (für $n=1$) ergibt sich geometrisch durch Punktspiegelung am Ursprung.

Beispiel (Quadratwurzeln aus $z=-1+i{\sqrt {3}}$):

Zunächst werden Betrag und Argument des Radikanden ermittelt.

$r=|-1+i{\sqrt {3}}|={\sqrt {(-1)^{2}+({\sqrt {3}})^{2}}}={\sqrt {1+3}}={\sqrt {4}}=2$

$\tan \varphi ={\frac {\sqrt {3}}{-1}}=-{\sqrt {3}}$

$\varphi ={\frac {2}{3}}\pi$ (2. Quadrant!)

Eine der Wurzeln ergibt sich aus

$w_{1}={\sqrt {r}}\cdot e^{i{\frac {\varphi }{2}}}={\sqrt {2}}\cdot e^{{\frac {1}{3}}\pi }$

$={\sqrt {2}}\cdot \left(\cos({\frac {1}{3}}\pi )+i\sin({\frac {1}{3}}\pi )\right)={\sqrt {2}}\cdot \left({\frac {1}{2}}+i\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\right).$

Die andere Wurzel erhält man durch Vorzeichenumkehr:

$w_{2}=-w_{1}={\sqrt {2}}\cdot \left(-{\frac {1}{2}}-i\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\right)$

Quadratwurzeln modulo n

Auch im Restklassenring $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ lassen sich Quadratwurzeln definieren. Ganz analog zu den reellen und komplexen Zahlen heißt $q$ eine Quadratwurzel von $x$, wenn gilt:

$q^{2}\equiv x\;\mathrm {mod} \;n$

Allerdings muss man sich zur Berechnung von Quadratwurzeln modulo n anderer Methoden bedienen als beim Berechnen reeller oder komplexer Quadratwurzeln.

Um die Quadratwurzeln von $x$ modulo $n$ zu bestimmen, geht man folgendermaßen vor:

Zuerst bestimmt man die Primfaktorzerlegung von $n$:

$n=p_{1}^{m_{1}}\cdot p_{2}^{m_{2}}\cdots p_{k}^{m_{k}}$

und bestimmt die Lösungen modulo der jeweiligen Primpotenzen $p^{m}$. Diese Lösungen setzt man schließlich mit dem Chinesischen Restsatz zur gesuchten Lösung zusammen.

Berechnung von Quadratwurzeln modulo einer Primzahl p

Für Primzahlen $p$ ungleich 2 geschieht das Berechnen der Quadratwurzeln zu $x$ so:

Um zu testen, ob $x$ überhaupt eine Quadratwurzel in $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ hat, verwendet man das Legendre-Symbol

$\left({\frac {x}{p}}\right)\equiv x^{\frac {p-1}{2}}\mod p$

denn es gilt:

$\left({\frac {x}{p}}\right)=\left\{{\begin{matrix}-1&{\mbox{wenn }}x{\mbox{ kein quadratischer Rest modulo }}p{\mbox{ ist}}\\0&{\mbox{wenn }}x{\mbox{ und }}p{\mbox{ nicht teilerfremd sind }}\\1&{\mbox{wenn }}x{\mbox{ ein quadratischer Rest modulo }}p{\mbox{ ist}}\\\end{matrix}}\right.$

Im ersten Falle besitzt $x$ keine Quadratwurzel in in Z/pZ und im zweiten Fall nur die Quadratwurzel 0. Der interessante Fall ist also der dritte Fall, und daher nehmen wir im folgenden an, dass $\left({\frac {x}{p}}\right)=1$ ist.

Berechnung für den Fall p = 3 mod 4

Ist das Legendre-Symbol $\left({\frac {x}{p}}\right)=1$, dann sind

$q\equiv \pm x^{\frac {p+1}{4}}{\mbox{ mod }}p$

die 2 Quadratwurzeln von $x$ modulo $p$.

Berechnung für den Fall p = 1 mod 4

Ist das Legendre-Symbol $(x|p)=1$, dann sind

$q\equiv \pm {\frac {x}{2r}}\left(W_{\frac {p-1}{4}}+W_{\frac {p+3}{4}}\right){\mbox{ mod }}p$

die 2 Quadratwurzeln von $x$ modulo $p$. Hierbei wählt man r dergestalt, dass das Legendre-Symbol

$\left({\frac {r^{2}-4x}{p}}\right)=-1$

ist. Dazu einfach verschiedene Werte von r durchprobieren. Die Folge $W_{n}$ ist rekursiv definiert:

$W_{n}=\left\{{\begin{matrix}r^{2}/x-2&{\mbox{ wenn }}n=1\\W_{n/2}^{2}-2&{\mbox{ wenn }}n{\mbox{ gerade}}\\W_{(n+1)/2}W_{(n-1)/2}-W_{1}&{\mbox{ wenn }}n>1{\mbox{ ungerade}}\end{matrix}}\right.$

Rechenbeispiel für $x=3$ und $p=37$:

Nach obiger Formel sind die Quadratwurzeln von $x$ gegeben durch

$q\equiv \pm {\frac {x}{2r}}\left(W_{9}+W_{10}\right){\mbox{ mod }}37$

Für $r$ findet man durch Probieren den Wert $r=2$, denn es ist

$\left({\frac {r^{2}-4x}{p}}\right)\equiv (r^{2}-4x)^{\frac {p-1}{2}}\equiv (-8)^{18}\equiv 36\equiv -1{\mbox{ mod }}37.$

Die Werte für $W_{9}$ und $W_{10}$ ergeben sich zu

${\begin{matrix}W_{1}&\equiv &r^{2}/x-2&\equiv &4/3-2&\equiv &24&\quad \mathrm {mod} \quad 37\\W_{2}&\equiv &W_{1}^{2}-2&\equiv &24^{2}-2&\equiv &19&\quad \mathrm {mod} \quad 37\\W_{3}&\equiv &W_{1}W_{2}-W_{1}&\equiv &24\cdot 19-24&\equiv &25&\quad \mathrm {mod} \quad 37\\W_{4}&\equiv &W_{2}^{2}-2&\equiv &19^{2}-2&\equiv &26&\quad \mathrm {mod} \quad 37\\W_{5}&\equiv &W_{2}W_{3}-W_{1}&\equiv &19\cdot 25-24&\equiv &7&\quad \mathrm {mod} \quad 37\\W_{9}&\equiv &W_{4}W_{5}-W_{1}&\equiv &26\cdot 7-24&\equiv &10&\quad \mathrm {mod} \quad 37\\W_{10}&\equiv &W_{5}^{2}-2&\equiv &7^{2}-2&\equiv &10&\quad \mathrm {mod} \quad 37\\\end{matrix}}$

Einsetzen dieser Werte ergibt

$q\equiv \pm {\frac {x}{2r}}\left(W_{9}+W_{10}\right)\equiv \pm {\frac {3}{4}}(10+10)\equiv \pm 15{\mbox{ mod }}37$

das heißt 15 und 22 sind die beiden Quadratwurzeln von 3 modulo 37.

Verallgemeinerung

Die Quadratwurzel ist ein Spezialfall der allgemeinen Wurzel. Eine über dem Wurzelzeichen stehende natürliche Zahl bezeichnet den Wurzelexponenten. Beispielsweise bedeutet im reellen Fall ${\sqrt[{5}]{x}}$ diejenige nicht-negative Zahl, deren 5. Potenz gleich $x$ ist. Fehlt der Wurzelexponent, so wird dafür eine 2 angenommen, und es handelt sich um eine Quadratwurzel.

Siehe auch

Schriftliches Wurzelziehen, Babylonisches Wurzelziehen, Euklids Beweis für Irrationalität von Wurzel 2, Wurzel (Mathematik), Modulo, Restklassenring, Wurzel aus 2