Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ (auch Vektorprodukt, vektorielles Produkt oder äußeres Produkt genannt) zweier Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ in einem dreidimensionalen Vektorraum ist ein Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht. Die Länge dieses Vektors entspricht der Fläche des Parallelogramms mit den Seiten ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ .

Es gibt zwei solche Vektoren, die in entgegengesetzte Richtung weisen. Davon wird einer ausgewählt, so dass ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ mit dem Vektor ihres Kreuzprodukts ein Rechtssystem bilden.

Das Kreuzprodukt ist neben dem Skalarprodukt ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$ (inneres Produkt) das zweite wichtige Produkt von zwei Vektoren. Die Kreuz- und Skalarprodukte hängen auch mit dem Spatprodukt dreier Vektoren zusammen.

Mathematische Darstellung

Das Kreuzprodukt wird mit einem Kreuz als Multiplikationszeichen geschrieben:

{\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {b}}

${\vec {c}}$ ist ein Pseudovektor. Es ist eine vereinfachte Schreibweise für die von null verschiedenen Elemente eines antisymmetrischen Tensors.

Im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum R³ kann man das Kreuzprodukt von a und b so definieren:

{\vec {a}}\times {\vec {b}}=\left||{\vec {a}}\right||\left||{\vec {b}}\right||\sin(\theta )\cdot {\vec {e}}

wobei sin(θ) der Sinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels θ, ${\vec {e}}$ der zu beiden Vektoren senkrechte Einheitsvektor, und $|{\vec {a}}|$ , $|{\vec {b}}|$ die jeweilige Länge (Betrag) der Vektoren sind.

Orientierung

Es gibt zwei Vektoren ${\vec {e}}$ , die senkrecht auf ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ stehen und die entsprechende Länge haben, diese weisen in entgegengesetzte Richtungen. Den korrekten Vektor bestimmt die Orientierung des Vektorraumes. Das heutzutage verwendete Koordinatensystem ist "rechtshändig" (ein so genanntes Rechtssystem), d.h. sowohl die Koordinatenachsen (x, y und z) als auch die Vektoren ${\vec {a}}$ , ${\vec {b}}$ und ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ verhalten sich wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand, wenn man sie im rechten Winkel zueinander von der Handfläche wegstreckt (daher oft Rechte-Hand-Regel genannt).

Komponentenweise Berechnung

Im normalen R³ kann man das Kreuzprodukt einfach komponentenweise berechnen:

{\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-a_{3}&a_{2}\\a_{3}&0&-a_{1}\\-a_{2}&a_{1}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}

Jede Zeile enthält im Kreuzprodukt dabei die Differenz der Produkte über Kreuz der anderen beiden Zeilen, beginnend mit $a_{2}$ . Die Indizes werden zyklisch permutiert. Dann entsteht immer ein Rechtssystem.

Genaugenommen ist das Kreuzprodukt ein antisymmetrischer Tensor mit den Komponenten:

{\begin{pmatrix}0&-a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2}&-a_{3}b_{1}+a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}&0&-a_{3}b_{2}+a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}&a_{3}b_{2}-a_{2}b_{3}&0\end{pmatrix}}

Zahlenwerte kann man einfach einsetzen:

{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-7\\8\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\cdot 9-3\cdot 8\\-(1\cdot 9-3\cdot (-7))\\1\cdot 8-2\cdot (-7)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-6\\-30\\22\end{pmatrix}}

Graphische Darstellung

Graphisch lässt sich das Kreuzprodukt darstellen als:

Der Betrag von ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ entspricht der Fläche des von ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ aufgespannten Parallelogramms.

Wichtige Eigenschaften

{\vec {a}}\times {\vec {a}}={\vec {0}}

{\vec {a}}\times {\vec {0}}={\vec {0}}

Für das Kreuzprodukt gilt das Kommutativgesetz nicht, sondern:

{\vec {a}}\times {\vec {b}}=-({\vec {b}}\times {\vec {a}})

Bei Vertauschung der Vektoren ändert sich also das Vorzeichen. Man sagt: Das Kreuzprodukt ist antikommutativ oder auch schiefsymmetrisch.

Es gelten zwei Distributivgesetze:

{\vec {a}}\times ({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\times {\vec {b}}+{\vec {a}}\times {\vec {c}}

und

({\vec {a}}+{\vec {b}})\times {\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {c}}+{\vec {b}}\times {\vec {c}}

Ferner gilt das Assoziativgesetz der Skalarmultiplikation:

$\alpha$ sei aus $\mathbb {R}$ .

(\alpha {\vec {a}})\times {\vec {b}}=\alpha ({\vec {a}}\times {\vec {b}})={\vec {a}}\times (\alpha {\vec {b}})

Für das Quadrat der Norm erhält man:

||{\vec {a}}\times {\vec {b}}||^{2}=||{\vec {a}}||^{2}\cdot ||{\vec {b}}||^{2}-<{\vec {a}};{\vec {b}}>^{2}

oder einfacher: $|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}\cdot |{\vec {b}}|^{2}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2}$

Für den zwischen den Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ aufgespannten nicht überstumpfen Winkel $\phi$ gilt:

||{\vec {a}}\times {\vec {b}}||=||{\vec {a}}||\cdot ||{\vec {b}}||\cdot sin(\phi )

Sind die Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ parallel, so ist ihr Kreuzprodukt der Nullvektor.

Das Kreuzprodukt erscheint nur im R³ sinnvoll, während im R² schlichtweg eine für das Kreuzprodukt wichtige Dimension fehlt. Dass Ähnliches für den R¹ gilt, leuchtet ein. Dies wird deutlich wenn zwei zweidimensionale Vektoren als Vektoren der Grundebene des dreidimensionalen Raumes auffasst. In diesem Fall zeigt der Vektor des Vektorproduktes senkrecht nach "oben". Mit diesem Trick kann es aber auch für R² genutzt werden, und zwar zur Berechnung des Flächeninhaltes des von den Vektoren aufgespannten Parallelogrames.

Grassmann-Identität

Die Grassmann-Identität (oder häufig auch BAC-CAB Regel genannt) ist geeignet, um physikalische Vektorberechnungen zu vereinfachen. Sie lautet:

{\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {b}}({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})-{\vec {c}}({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})

,

Ein Merksatz für diese Formel ist “ABC = BAC minus CAB”.

Anmerkung: Die Grassmann-Identität gilt nur für echte Vektoren und nicht für vektorwertige Operatoren (wie z.B. für den Nabla-Operator).

Verallgemeinerung

Es gibt eine Verallgemeinerung des Kreuzprodukts auf n-dimensionale euklidische Räume, die allerdings nicht mehr nur zwei Vektoren verknüpft, sondern n-1 Vektoren. Das Kreuzprodukt dieser Vektoren ist ein Vektor, der auf allen normal (senkrecht im Sinne des Skalarprodukts) steht und dessen Länge und Richtungssinn von den Längen und der Reihenfolge der Argumente abhängt.

Diese Verallgemeinerung kann man so definieren:

Sei V ein n-dimensionaler euklidischer K-Vektorraum und a₁, ..., a_n-1 Vektoren von V. Dann definiert man das Kreuzprodukt als formale Determinante

a₁ × ... × a_n-1 := det(E, a₁, ..., a_n-1)

wobei die a_i als Koordinatenvektoren bezüglich einer Orthonormalbasis aufgefasst werden und E der Spaltenvektor ist, dessen Komponenten die Basisvektoren sind. Da das nicht Elemente von K (sondern von V) sind, ist das eine formale Determinante, die z.B. durch Entwicklung nach der ersten Spalte berechnet werden kann und einen Vektor in V liefert.

Eine noch weitergehende Verallgemeinerung des Kreuzproduktes stellt das äußere Produkt von Linearformen (beziehungsweise noch allgemeiner von (alternierenden) Multilinearformen) dar. Dabei kann dann eine beliebige Zahl von Vektoren verknüpft werden, das Ergebnis ist allerdings im Allgemeinen kein Vektor mehr.

Ableitung der Berechnungsformel im R³

Für den R³ mit dem kanonischen Skalarprodukt und der Orthonormalbasis {e₁=(1,0,0), e₂=(0,1,0), e₃=(0,0,1)} folgt aus der allgemeinen Definition auch die Formel für die Komponenten:

{\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}e_{1}&a_{1}&b_{1}\\e_{2}&a_{2}&b_{2}\\e_{3}&a_{3}&b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\-(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}

Weitere Eigenschaften

Für jeden Einheitsvektor im R³, sprich ${\vec {e_{1}}}$ , ${\vec {e_{2}}}$ und ${\vec {e_{3}}}$ , gilt, dass er sich als Kreuzprodukt der jeweils zwei verbleibenden Vektoren darstellen lässt.