Einstein-Infeld-Hoffmann-Gleichung

Die Einstein-Infeld--Hoffmann-Gleichung ist eine Bewegungsgleichung, die gemeinsam von Albert Einstein, Leopold Infeld und Banesh Hoffmann entwickelt wurde. Es ist eine Differentialgleichung, die die Kinetik eines Systems aus punktförmigen Massen unter gegenseitiger Gravitationsanziehung näherungsweise unter Berücksichtigung von allgemein-relativistischen Effekten beschreibt. Sie benutzt eine post-newtonsche Erweiterung erster Ordnung und ist damit in Bereichen gültig, in denen die Geschwindigkeiten der Massen klein im Vergleich zu der Lichtgeschwindigkeit und die Gravitationsfelder, die auf sie wirken, entsprechend schwach sind.

Für ein System aus N Massen, die durch die Indizés A = 1, ..., N bezeichnet werden, ist der baryzentrische Beschleunigungsvekter des Körpers A gegeben durch:

${\begin{aligned}{\vec {a}}_{A}&=\sum _{B\not =A}{\frac {Gm_{B}{\vec {n}}_{BA}}{r_{AB}^{2}}}\\&{}\quad {}+{\frac {1}{c^{2}}}\sum _{B\not =A}{\frac {Gm_{B}{\vec {n}}_{BA}}{r_{AB}^{2}}}\left[v_{A}^{2}+2v_{B}^{2}-4({\vec {v}}_{A}\cdot {\vec {v}}_{B})-{\frac {3}{2}}({\vec {n}}_{AB}\cdot {\vec {v}}_{B})^{2}\right.\\&{}\qquad {}\left.{}-4\sum _{C\not =A}{\frac {Gm_{C}}{r_{AC}}}-\sum _{C\not =B}{\frac {Gm_{C}}{r_{BC}}}+{\frac {1}{2}}(({\vec {x}}_{B}-{\vec {x}}_{A})\cdot {\vec {a}}_{B})\right]\\&{}\quad {}+{\frac {1}{c^{2}}}\sum _{B\not =A}{\frac {Gm_{B}}{r_{AB}^{2}}}\left[{\vec {n}}_{AB}\cdot (4{\vec {v}}_{A}-3{\vec {v}}_{B})\right]({\vec {v}}_{A}-{\vec {v}}_{B})\\&{}\quad {}+{\frac {7}{2c^{2}}}\sum _{B\not =A}{\frac {Gm_{B}{\vec {a}}_{B}}{r_{AB}}}\end{aligned}}$

Dabei gilt:

${\vec {x}}_{A}$ ist der baryzentrische Ortsvektor des Körpers A

${\vec {v}}_{A}=d{\vec {x}}_{A}/dt$ ist der baryzentrische Geschwindigkeitsvektor des Körpers A

${\vec {a}}_{A}=d^{2}{\vec {x}}_{A}/dt^{2}$ ist der baryzentrische Beschleunigungvektor des Körpers A

$r_{AB}=|{\vec {x}}_{A}-{\vec {x}}_{B}|$ ist der metrische Abstand der Körper A und B

${\vec {n}}_{AB}=({\vec {x}}_{A}-{\vec {x}}_{B})/r_{AB}$ ist der Einheitsvektor der von Körper B auf Körper A zeigt

$m_{A}$ ist die Masse des Körpers A.

$c$ ist die Lichtgeschwindigkeit

$G$ ist die Gravitationskonstante.

Der erste Term auf der rechten Seite entspricht der newtonschen Gravitationsbeschleunigung auf A. Im Grenzwert c → ∞ erhält man die newtonsche Bewegungsgleichung.

Die Beschleunigung eines bestimmten Körpers hängt von den Beschleunigungen aller anderen Körper ab. Da die Anzahl auf der linken Seite auch auf der rechten Seite auftaucht, muss das Gleichungssystem iterativ gelöst werden. In der Praxis genügt die newtonsche Bewegungsgleichung um genügend Genauigkeit zu erreichen.

Literatur

• Albert Einstein, L. Infeld, B. Hoffmann: The Gravitational Equations and the Problem of Motion. Annals of Mathematics Second series 39 (1): S. 65–100, 1938.
• Jean Kovalevsky, P. Kenneth Seidelmann: Fundamentals of Astrometry , New York: Cambridge University Press. S. 173. , 2004.