Gerade und ungerade Funktionen

Eine Funktion $f$ mit Definitionsbereich $D$ heißt in der Mathematik gerade Funktion genau dann, wenn $f(x)=f(-x)$ $\forall x\in D$ gilt. Ist die Funktion reell, das heißt nimmt sie auf der nichtleeren Teilmenge $D\subseteq \mathbb {R}$ lauter reelle Werte an, dann ist ihr Schaubild achsensymmetrisch zur y-Achse.

$f(x)=x^{2}$ – Beispiel für eine **gerade Funktion**: Die Normalparabel

Beispiele gerader Funktionen sind $|x|$ , $x^{2}$ , $\cos {x}$ und $\cosh {x}$ . Sie können keine Bijektion darstellen.

Jede beliebige Funktion lässt sich (additiv) in eine gerade und eine ungerade Funktion zerlegen: $f(x):=u(x)+g(x)$ Wobei: $u(x)=1/2*(f(x)-f(-x))$ und $g(x)=1/2*(f(x)+f(-x))$

Eine Funktion $f$ mit Definitionsbereich $D$ heißt ungerade Funktion genau dann, wenn $f(-x)=-f(x)\,$ $\forall x\in D$ gilt. Im reellen Fall ist ihr Schaubild punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

Beispiele ungerader Funktionen sind $x$ , $x^{3}$ und andere Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten sowie ganzrationale Funktionen, die die Summe von Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten darstellen. Aber auch beispielsweise die Funktionen $\sin {x}$ und $\sinh {x}$ .

Ist $f$ eine ungerade Funktion, und ist $0\in D$ , so gilt speziell $f(0)=-f(-0)=-f(0)$ , also muss $f(0)=0$ gelten. Die Funktion $f(x)=1/x$ ist ein Beispiel einer ungeraden Funktion, die für $x=0$ nicht definiert ist. Demnach gilt auch $f(0)=0$ für sie nicht.

Die einzige reelle Funktion, die gleichzeitig gerade und ungerade ist, ist die Nullfunktion, denn für diese gilt $f(x)=f(-x)=-f(-x)=0$ $\forall x\in D$ .

Ihre Bezeichnung haben die Funktionen daher, dass eine ganzrationale Funktion $f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}$ genau dann gerade ist, wenn nur Koeffizienten $a_{0},a_{2},\ldots a_{2k},\ldots$ , also nur Koeffizienten zu Potenzfunktionen mit geradem Grad von 0 verschieden sind. Eine ganzrationale Funktion ist genau dann ungerade, wenn nur Koeffizienten zu Potenzfunktionen mit ungeradem Grad von 0 verschieden sind.

Eigenschaften gerader und ungerader Funktionen

Die Summe zweier gerader Funktionen ist wieder gerade.
Die Summe zweier ungerader Funktionen ist wieder ungerade.
Das Produkt zweier gerader Funktionen ist wieder gerade.
Das Produkt zweier ungerader Funktionen ist gerade.
Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Funktion ist ungerade.
Die Komposition einer beliebigen Funktion mit einer geraden Funktion ist gerade.
Die Komposition einer geraden Funktion mit einer ungeraden Funktion ist gerade.
Die Komposition einer ungeraden Funktion mit einer ungeraden Funktion ist ungerade.
Die Ableitung einer geraden Funktion ist ungerade, die Ableitung einer ungeraden Funktion ist gerade.
Die Taylor-Reihe mit dem Entwicklungspunkt x = 0 einer geraden (ungeraden) Funktion enthält nur gerade (ungerade) Potenzen.
Die Fourier-Reihe einer geraden (ungeraden) Funktion enthält nur Kosinus- (Sinus-) Terme.
Eine beliebige Funktion lässt sich als Summe einer geraden und ungeraden Funktion wie folgt schreiben:

f(x)=f_{\mathrm {g} }(x)+f_{\mathrm {u} }(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}+{\frac {f(x)-f(-x)}{2}}

,

mit

f_{\mathrm {g} }(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}

dem geraden Anteil der Funktion

f

und

f_{\mathrm {u} }(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}

dem ungeraden Anteil der Funktion

f

.

Berechnet man das bestimmte Integral einer ungeraden, in dem betrachteten Intervall stetigen Funktion, wobei die Grenzen symmetrisch um Null liegen, ergibt sich Null: $\int _{-a}^{a}f(x)dx=0$ .

Siehe auch

In der Schulmathematik gehört die Untersuchung eines Funktionsschaubildes auf Achsensymmetrie zur y-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung zu den ersten Schritten einer Kurvendiskussion.
In der mathematischen Physik wird das Konzept der geraden und ungeraden Funktionen durch den Begriff der Parität verallgemeinert. Diese ist vor allem für Wellenfunktionen etwa in der Quantenmechanik von Bedeutung.

Literatur

Marc Hensel: Kurvendiskussion. Lern- und Übungsbuch für die Abiturprüfung Mathematik. 1. Auflage. Books on Demand, Norderstedt 2010, ISBN 978-3-8391-4025-3.
Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 8. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-12231-6.

Weblinks