Kubische Gleichung

Definition

Kubische Gleichungen sind algebraische Gleichungen 3. Grades, also Gleichungen der allgemeinen Form

c_{3}\cdot x^{3}+c_{2}\cdot x^{2}+c_{1}\cdot x+c_{0}=0

mit $c_{0},c_{1},c_{2},c_{3}\in \mathbb {C}$ und $c_{3}\neq 0$ in der Unbekannten $x\in {\mathbb {C}}$ (siehe auch Polynomfunktion: $P_{n=3}(x)$ )

Allgemein gilt:

Im Fall $c_{3}=0$ handelt es sich höchstens noch um eine quadratische Gleichung und der Lösungsweg ist entsprechend zu ändern.

Die kubische Gleichung lässt sich mit Kenntnis aller drei komplexen Nullstellen $x_{1},x_{2},x_{3}$ auch so faktorisieren:

c_{3}\cdot (x-x_{1})\cdot (x-x_{2})\cdot (x-x_{3})=0

Geometrisch beschreibt die reelle Variante der kubischen Gleichung eine kubische Parabel in der x-y-Ebene. Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind die reellen Nullstellen. Da die Parabel immer von $-\infty ...+\infty \,(c_{3}>0)$ bzw. von $+\infty ...-\infty \,(c_{3}<0)$ läuft, muss es stets einen Schnittpunkt mit der x-Achse geben, d.h. mindestens eine reelle Nullstelle. Dies spiegelt sich auch in der algebraischen Behandlung wieder.

Lösungsansätze

Lösung einer kubischen Gleichung mit Hilfe der cardanischen Formeln

Nach Division durch $c_{3}$ ergibt sich die Normalform der kubischen Gleichung:

x^{3}+a\cdot x^{2}+b\cdot x+c\,=\,0

Durch Substitution von

x=t-{a \over 3}

ergibt sich die reduzierte kubische Gleichung

t^{3}+p\cdot t+q\,=\,0

mit

p=b-{\frac {a^{2}}{3}}

und

q=c+{\frac {2\cdot a^{3}}{27}}-{\frac {a\cdot b}{3}}

.

$D=\left({q \over 2}\right)^{2}+\left({p \over 3}\right)^{3}$ (D wird Diskriminante genannt).

Ansatz 1

Zusammenhang zwischen kubischer Parabel und der Anzahl der Nullstellen

Es zeigt sich, dass aus dem Vorzeichen der Diskriminante $D$ auf die Zahl der reellen Lösungen geschlossen werden kann.

Fall 1: D > 0 (Lösungsweg auch gültig für D = 0)

Die Grafik zeigt den Verlauf der kubischen Parabel (B), die nur einen Schnittpunkt mit der x-Achse aufweist. In diesem Fall existiert neben zwei komplexen Lösungen nur eine reelle Lösung:

x_{1}={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {D}}}}+{\sqrt[{3}]{{-{q \over 2}}-{\sqrt {D}}}}-{a \over 3}

Ist dabei eine dritte Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen, so ist die reelle Wurzel zu wählen, d.h.

{\sqrt[{3}]{x}}=-{\sqrt[{3}]{-x}}.

Die Gleichung lässt sich so faktorisieren:

0=c_{3}\cdot (x-x_{1})\cdot (x^{2}+u\cdot x+v)

,

wobei sich das quadratische Polynom im Reellen nicht weiter zerlegen lässt, da

x_{2},x_{3}\in \mathbb {C}

- die quadratische Gleichung beschreibt also zwei komplexe Nullstellen.

Fall 2: D = 0

Die Grafik zeigt den Verlauf von zwei möglichen kubischen Parabeln:

Im Fall (A) weist die kubische Parabel nur einen Schnittpunkt mit der x-Achse auf, der eine dreifache Nullstelle ist. Die kubische Gleichung lässt sich in diesem Falle durch Ausmultiplizieren des Binoms $0=c_{3}\cdot (x-x_{1})^{3}$ gewinnen. in dieser Darstellung ist offensichtlich, dass der Faktor $\,(x-x_{1})$ auch in der 1. und 2. Ableitung der kubischen Gleichung vorkommt, so dass die Nullstelle ein Sattelpunkt sein muss.
Im Fall (C) gibt es eine Nullstelle und einen weiteren Berührpunkt mit der x-Achse, der ein Minimum bzw. bei negativem $c_{1}$ ein Maximum ist. In diesem Punkt liegt eine doppelte reelle Nullstelle vor. Die kubische Gleichung lässt sich in diesem Falle durch Ausmultiplizieren des Produktes $0=c_{3}\cdot (x-x_{1})\cdot (x-x_{2})^{2}$ gewinnen und es ist offensichtlich, dass der Faktor $\,(x-x_{2})$ auch in der 1. Ableitung vorkommt, so dass die doppelte Nullstelle stets mit einem Maximum oder Minimum zusammenfällt.

In diesem Fall kann es zwei verschiedene reelle Lösungen geben (im allgemeinen Fall gilt dies freilich nicht (etwa für

p=q=0

)):

Im Sonderfall

p=q=0

existiert nur eine reelle Lösung, nämlich

x=0

(dreifache Nullstelle).

x_{1}=-{\sqrt[{3}]{4\cdot q}}-{a \over 3}=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}-{a \over 3}

(einfache Nullstelle)

x_{2}=x_{3}={\sqrt[{3}]{q \over 2}}-{a \over 3}

(doppelte Nullstelle)

Fall 3: D < 0 (Casus irreducibilis, Lösungsweg auch gültig für D = 0),

Die Grafik zeigt den Verlauf der kubischen Parabel (D), die drei verschiedene Schnittpunkte mit der x-Achse aufweist. Die kubische Gleichung lässt sich auf das Produkt

0=c_{3}\cdot (x-x_{1})\cdot (x-x_{2})\cdot (x-x_{3})

zurückführen.

Die Lösungen lauten:

x_{1}=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {-q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)\right)-{a \over 3}

x_{2}=-2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {-q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)+{\frac {\pi }{3}}\right)-{a \over 3}

x_{3}=-2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {-q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)-{\frac {\pi }{3}}\right)-{a \over 3}

Ansatz 2

Um die aufwändige und fallabhängige Berechnung der zweiten (x₂) und dritten (x₃) Wurzel zu vermeiden, kann man folgenden Lösungsweg beschreiten:

Eine kubische Gleichung mit reellen Koeffizienten muss mindestens eine reelle Lösung haben, das ist x₁.
Falls $x_{1}=0$ (zu erkennen an $c_{0}=0$ resp. $c=0$ ), kann x₂ und x₃ direkt aus der folgenden quadratischen Gleichung berechnet werden:

x^{2}+a\cdot x+b=0

Falls $c_{0}\neq 0$ resp. $c\neq 0$ : Die erste Wurzel x₁ wird nach Ansatz 1 berechnet. Fall 2 (D = 0) muss dabei nicht explizit berücksichtigt werden, da er sich als Spezialfall alternativ aus Fall 1 (D > 0) oder Fall 3 (D < 0) ergibt

Mit der gefundenen Wurzel x₁ und der kubischen Gleichung wird eine Polynomdivison durchgeführt.
Das entstandene quadratische Polynom hat die gleichen Wurzeln x₂ und x₃, wie das kubische Polynom. Rechnerisch muss jedoch nicht mehr zwischen Fall 1 oder 3 unterschieden werden, es kann die einfache und einheitliche Lösungsformel (p-q-Formel) der quadratischen Gleichung verwendet werden.

Mit der Lösung x₁ kann das Ergebnis der Polynomdivision sofort als quadratische Gleichung für die Lösungen x₂ und x₃ dargestellt werden:

x^{2}+\left(x_{1}+a\right)\cdot x-{\frac {c}{x_{1}}}=0

Der Zusammenhang zwischen den Koeffizienten dieser quadratischen Gleichung und der kubischen Gleichung erschließt sich aus den Vietaschen Wurzelsätzen für Gleichungen 2. und 3. Grades.