Bragg-Gleichung
Trifft Röntgenstrahlung auf einen Kristall, so wird dieser von einem Großteil der Strahlung ungehindert durchdrungen. Allerdings wird stets auch beobachtet, dass durch den Kristall Strahlungsanteile z.T. erheblich abgelenkt werden, ein Phänomen, das man als Röntgenbeugung bezeichnet. Montiert man hinter dem Kristall eine Fotoplatte, um die abgelenkten Strahlungsanteile sichtbar zu machen, erhält man darauf charakteristische Beugungsmuster.
Ursache hierfür ist nach einer klassischen Vorstellung die Reflexion von Röntgenstrahlung an Schichten innerhalb des Kristalls (sogenannten Gitter- oder Netzebenen).
Reflexion erfolgt nur dann, wenn die Bragg-Gleichung erfüllt ist:
Durch die Bragg-Gleichung werden:
- der Abstand d zwischen parallelen Netzebenen,
- die Wellenlänge der Röntgenstrahlung sowie
- der Winkel zwischen Röntgenstrahl und Netzebene (sogenannter Glanz- oder Braggwinkel) miteinander verknüpft.
- n ist eine ganze Zahl
Die Bragg-Gleichung ergibt sich aus der Forderung nach konstruktiver Interferenz (siehe Herleitung weiter unten). Sie wurde von William Henry Bragg und seinem Sohn William Lawrence Bragg entdeckt.
Jede Schar paralleler Netzebenen hat einen charakteristischen Netzebenenabstand d und damit, so die Bragg-Gleichung, auch einen charakteristischen Braggwinkel . Eine Reflexion (kurz: ein Reflex) kann nur dann beobachtet werden, wenn eine Schar paralleler Netzebenen so orientiert ist, dass der Röntgenstrahl genau unter dem Braggwinkel einfällt.
Für jeden Winkel, unter dem die Röntgenstrahlung auf den Kristall trifft, erhält man auf der Fotoplatte hinter dem Kristall ein anderes Bild, weil sich immer andere Scharen paralleler Netzebenen (mit anderen Braggwinkeln und mit anderen Orientierungen im Kristall) in Reflexionsstellung zum einfallenden Röntgenstrahl befinden.
Röntgenbeugungsexperimente an Kristallen bieten die Möglichkeit, Einblicke in die innere Struktur von Kristallen zu erlangen (Kristallstrukturanalyse).
Herleitung
Die blauen Linien sind zwei interferierende Strahlen innerhalb eines Wellenbündels, die unter dem Winkel α zum Lot der Kristalloberfläche auftreffen. Der Komplementärwinkel θ = 90°-α ist der Einfallswinkel zur Kristalloberfläche. d ist der Gitterebenenabstand des Kristalls. Die Reflexion erfolgt an den Gitterebenen und nicht an den einzelnen Atomen.
Wie man sich leicht überlegen kann, muss der untere Strahl einen längeren Weg zurücklegen um nach der Reflexion noch in der selben Phasenbeziehung zum oberen Strahl zu stehen wie vorher. Diesen Weg 2δ, der durch die dunkelblauen Linien gekennzeichnet ist, wollen wir berechnen, denn er ist für die Interferenz verantwortlich. Wichtig für das Verständnis ist, dass es sich bei den orangenen Linien nicht um Verlängerungen der hellblauen Linien handelt, sondern um die Senkrechte dazu.
Die orangene, grüne und dunkelblaue Linie ergeben ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse d. δ ergibt sich somit aus:
Der gesamte Wegunterschied beträgt 2δ, also 2·d·sinθ. Für konstruktive Interferenz muss der Gangunterschied zweier wechselwirkender Strahlen ein ganzzahliges Vielfaches n der Wellenlänge λ sein. Daraus ergibt sich die Bragg-Gleichung als Bedingung für Glanzwinkel nter Ordnung zu: