Surjektive Funktion

Surjektivität (surjektiv) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion.

Sie bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird, also mindestens ein Urbild hat. Anders ausgedrückt: Bild- und Zielmenge stimmen überein.

In der Sprache der Relationen ist der entsprechende Begriff rechtstotal.

Eine surjektive Funktion wird auch als Surjektion bezeichnet.

Definition

Seien $X$ und $Y$ Mengen, sowie $f:X\to Y$ eine Abbildung von $X$ nach $Y$ .

$f$ heißt surjektiv (auf $Y$ ) wenn für alle $y$ aus $Y$ mindestens ein $x$ aus $X$ mit $f(x)=y$ existiert.

Formal: $\forall y\in Y\ \exists x\in X:f(x)=y$

Darstellungsformen

Beispiele und Gegenbeispiele

Die Funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $f(x)=2x+1$ ist surjektiv, denn für jede reelle Zahl $y$ gibt es (mindestens) ein Urbild. Um dies zu zeigen, löst man die Gleichung $y=2x+1$ in einem ersten Schritt nach $x$ auf und erhält $x=(y-1)/2$ . Das Berechnen von $x$ reicht aber im allgemeinen noch nicht als Beweis. Dieser kann hier jedoch durch eine einfache Probe erbracht werden, denn in der Tat ist
$f((y-1)/2)=2((y-1)/2)+1=y$ .

Die Sinus-Funktion $\sin :\mathbb {R} \to [-1,1]$ ist surjektiv. Jede horizontale Gerade $y=y_{0}$ mit $-1\leq y_{0}\leq 1$ hat unendlich viele Schnittpunkte mit dem Graph der Funktion.

Die Sinus-Funktion $\sin :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ist jedoch nicht surjektiv, da z.B. die Gerade $y=2$ keinen Schnittpunkt mit dem Graphen hat, der Wert 2 also nicht als Funktionswert angenommen wird.

$\mathbb {C}$ bezeichne die Menge der komplexen Zahlen.

f_{1}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \ ,\ x\mapsto x^{2}

ist nicht surjektiv.

f_{2}:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} \ ,\ x\mapsto x^{2}

ist surjektiv.

Eigenschaften

Man beachte, dass die Surjektivität einer Funktion $f:A\to B$ nicht nur vom Funktionsgraphen $\{(x,f(x))\mid x\in A\}$ , sondern auch von der Zielmenge $B$ abhängt (im Gegensatz zur Injektivität, welche man am Funktionsgraphen ablesen kann).

Sind die Funktionen f : A → B und g : B → C surjektiv, dann gilt dies auch für die Komposition (Verkettung) g o f : A → C.

Aus der Surjektivität von g o f folgt, dass g surjektiv ist.

Eine Funktion f : A → B ist genau dann surjektiv, wenn f eine rechte Inverse hat, also eine Funktion g : B → A mit f o g = id_B (wobei id_B die identische Abbildung auf B bezeichnet). Diese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom der Mengenlehre.

Eine Funktion f : A → B ist genau dann surjektiv, wenn f rechts kürzbar ist, also für beliebige Funktionen g, h : B → C mit g o f = h o f schon g = h folgt.

Jede beliebige Funktion f : A → B ist darstellbar als Verkettung f = h o g, wobei g surjektiv und h injektiv ist. g : A → im f hat dabei die Bildmenge von f als Zielmenge und stimmt ansonsten mit f überein (hat den selben Funktionsgraphen).

Ist f : A → B eine surjektive Funktion zwischen endlichen Mengen, dann kann B höchstens so viele Elemente wie A haben, es gilt also |B| ≤ |A|.

Siehe auch