Stieltjesintegral

In der Integralrechnung bezeichnet das Stieltjesintegral eine wesentliche Verallgemeinerung des Riemannintegrals oder eine Konkretisierung des Integralbegriffs von Lebesgue. Benannt wurde es nach dem niederländischen Mathematiker Thomas Jean Stieltjes (1856-1894). Das Stieltjesintegral, für den der Begriff des Integrators grundlegend ist, findet Anwendung auf vielen Feldern, insbesondere in der Physik und der Stochastik.

Das Riemann-Stieltjes-Integral für monotone Integratoren

Es seien $[a,b]\neq \emptyset$ ein reelles Intervall und $f,h\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ zwei Funktionen. Dabei wird vorausgesetzt, dass $f$, der Integrand, beschränkt ist und $h$, der Integrator, (nicht notwendigerweise streng) monoton wächst. Das dazugehörige Riemann-Stieltjes-Integral von $f$ bezüglich $h$ auf dem Intervall $[a,b]$ wird wie das Riemannintegral über feine Zerlegungen des Intervalls oder über Ober- und Untersummen (siehe dort) definiert. Jedoch lauten die Formeln für die Ober- und Untersumme bei Stieltjes-Integralen statt

${\overline {S_{N}}}=\sum _{i=1}^{N}\sup {\Big \{}f(t):t\in [t_{i-1},t_{i}]{\Big \}}\cdot (t_{i}-t_{i-1})$ (Obersumme) und

${\underline {S_{N}}}=\sum _{i=1}^{N}\inf {\Big \{}f(t):t\in [t_{i-1},t_{i}]{\Big \}}\cdot (t_{i}-t_{i-1})$ (Untersumme)

nun

${\overline {S_{N}}}=\sum _{i=1}^{N}\sup {\Big \{}f(t):t\in [t_{i-1},t_{i}]{\Big \}}\cdot (h(t_{i})-h(t_{i-1}))$ (Stieltjes-Obersumme) und

${\underline {S_{N}}}=\sum _{i=1}^{N}\inf {\Big \{}f(t):t\in [t_{i-1},t_{i}]{\Big \}}\cdot (h(t_{i})-h(t_{i-1}))$ (Stieltjes-Untersumme).

Konvergieren Ober- und Untersumme für hinreichend feine Zerlegungen gegen denselben Wert, so heißt $f\!\,$ bezüglich $h\!\,$ auf $[a,b]\!\,$ Riemann-Stieltjes-integrierbar und der gemeinsame Grenzwert wird als Wert des Integrals bezeichnet. Die Schreibweise hierfür ist

$\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h\quad {\text{oder}}\quad \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} h(t).$

Der Integrator $h$ regelt also, wie stark $f$ an verschiedenen Stellen gewichtet wird. Statt Integrator ist deshalb auch die Bezeichnung Gewichtsfunktion üblich. Offensichtlich kann das gewöhnliche Riemannintegral nun als Spezialfall des Riemann-Stieltjes-Integrals mit $h(x)=x$ für alle $x$ (Identität) aufgefasst werden.

Das Riemann-Stieltjes-Integral existiert z. B. bei stetiger Funktion $f$ selbst mit der Cantor-Funktion als Integrator (das ist eine monoton von 0 auf 1 wachsende Funktion, die fast überall konstant ist, nämlich bis auf eine überabzählbare Nullmenge).

Das Lebesgue-Stieltjes-Integral

Das Lebesgue-Stieltjes-Integral ist ein Spezialfall des Lebesgue-Integrals. Hierbei wird über ein Borel-Maß $\mu$ integriert, das im Fall des Lebesgue-Stieltjes-Integrals durch die monotone Funktion $h$ definiert wird und im Folgenden mit $\mu _{h}$ bezeichnet wird. Das Maß $\mu _{h}$ ist festgelegt durch seine Werte auf Intervallen:

${\begin{aligned}\mu _{h}([x,y[)&=h(y-)-h(x-),\\\mu _{h}([x,y])&=h(y+)-h(x-)\end{aligned}}$

Hier bezeichnet $h(y-)$ den linksseitigen und $h(y+)$ den rechtsseitigen Grenzwert der Funktion $h$ an der Stelle $y$. Ist $h$ die Identität, so handelt es sich um das Lebesgue-Maß. Ist $f$ bezüglich dieses Maßes $\mu _{h}$ Lebesgue-integrierbar, so definiert man das zugehörige Lebesgue-Stieltjes-Integral als

$\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h=\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} \mu _{h},$

wobei die rechte Seite als gewöhnliches Lebesgue-Integral aufzufassen ist.

Nicht-monotone Integratoren

Für eine eingeschränkte Menge nicht monoton wachsender Integratoren kann das Stieltjes-Integral ebenfalls sinnvoll definiert werden, nämlich für solche mit endlicher Variation auf $[a,b]$. Funktionen endlicher Variation können nämlich stets als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen dargestellt werden, also $h=h_{1}-h_{2}$ wobei $h_{1},h_{2}\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ monoton wachsend sind. Das zugehörige Stieltjes-Integral (wahlweise im Riemannschen oder Lebesgueschen Sinne) ist dann definiert als

$\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h:=\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h_{1}-\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h_{2}.$

Es kann gezeigt werden, dass diese Definition sinnvoll, d. h. wohldefiniert (also unabhängig von der speziellen Wahl der Zerlegung) ist.

Eigenschaften

• Falls zu $f\,\!,h\,\!$ und $[a,b]\,\!$ das Riemann-Stieltjes-Integral existiert, so existiert auch das zugehörige Lebesgue-Stieltjes-Integral und die beiden Werte stimmen überein.

• Wie das Riemann- und das Lebesgue-Integral ist auch das Stieltjes-Integral linear im Integranden:

  $\int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)\,\mathrm {d} h=\alpha \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h+\beta \int _{a}^{b}g\,\mathrm {d} h$

für Konstanten $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$, falls die betrachteten Integrale existieren.

• Weiterhin ist das Stieltjes-Integral auch linear im Integrator, also

  $\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} (\alpha g+\beta h)=\alpha \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} g+\beta \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h$

für Konstanten $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ und Funktionen $g,h$ endlicher Variation.

• Das Integral ist invariant unter Translationen des Integrators, also

  $\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} (h+c)=\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h$

für Konstanten $c$.

• Treppenfunktionen als Integratoren: Ist $f$ stetig und $h$ eine Treppenfunktion, die in den Punkten $t_{1},\ldots ,t_{n}\in \,]a,b[$ Sprünge der Höhe $\Delta h_{1},\ldots ,\Delta h_{n}\in \mathbb {R}$ besitzt, so gilt

  $\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h=\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta h_{i}.$

• Ist $h$ stetig differenzierbar, so gilt

  $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} h(x)=\int _{a}^{b}f(x)h'(x)\,\mathrm {d} x.$

(Im Lebesgueschen Sinne: $h\!\,'$ ist die Dichte von $\mu _{h}$.)

• Ist $h$ absolut stetig, so ist $h$ fast überall differenzierbar, die Ableitung $h'$ ist integrierbar und es gilt auch hier:

  $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} h(x)=\int _{a}^{b}f(x)h'(x)\,\mathrm {d} x.$

• Für das Riemann-Stieltjes-Integral gilt folgende Regel zur partiellen Integration:

  $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} h(x)=f(b)h(b)-f(a)h(a)-\int _{a}^{b}h(x)\,\mathrm {d} f(x).$

Literatur

I. P. Natanson: Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen, Harri Deutsch Thun-Verlag, ISBN 3-87-144-217-8