Benutzer:Petflo2000/Spielwiese

$V_{H}=\int _{0}^{r}{A_{h}dh}=\int _{0}^{r}{s^{2}\pi dh}=\int _{0}^{r}{\left({r^{2}-h^{2}}\right)}\pi dhV_{H}=\int _{0}^{r}{r^{2}}\pi dh-\int _{0}^{r}{h^{2}}\pi dhV_{H}=r^{2}\pi \left[h\right]_{0}^{r}-{1 \over 3}\pi \left[{h^{3}}\right]_{0}^{r}V_{H}=r^{2}\pi r-{1 \over 3}\pi r^{3}=r^{3}\pi -{1 \over 3}\pi r^{3}={2 \over 3}\pi r^{3}$

Formelschreibweise

So: <math>s^2 = r^2 - h^2</math>

$s^{2}=r^{2}-h^{2}$

oder so: <math>s^2 = r^2 - h^2 \,</math>

$s^{2}=r^{2}-h^{2}\,$

Vorschauhinweis

Hallo! Bitte benutze doch den Vorschaubutton, dann haben Artikel nicht so ewig viele Versionen für kleine Änderungen: [1] Danke! Petflo2000 11:26, 9. Mai 2005 (CEST)

Formel

${\begin{matrix}x^{2}+p\cdot x+q&=&0&|&-q&&\\\,x^{2}+p\cdot x&=&-q&|&+({\frac {p}{2}})^{2}&&\mathrm {Das\ Quadrat\ der\ H{\ddot {a}}lfte\ des\ linearen\ Gliedes\ addieren} \\\,x^{2}+p\cdot x+({\frac {p}{2}})^{2}&=&({\frac {p}{2}})^{2}-q&|&()&&{\mbox{Ausklammern}}\\\,(x+{\frac {p}{2}})^{2}&=&({\frac {p}{2}})^{2}-q&|&{\sqrt {}}&&{\mbox{Wurzel ziehen}}\\\,x+{\frac {p}{2}}&=&\pm {\sqrt {({\frac {p}{2}})^{2}-q}}&&&&\\\end{matrix}}$

${\mbox{keine Umlaute erlaubt}}$

${\begin{matrix}x^{2}+p\cdot x+q&=&0&|&-q&&\\x^{2}+p\cdot x&=&-q&|&+({\frac {p}{2}})^{2}&&{\mbox{Das Quadrat der Halfte a}}\\a&b&c&d&e&f&{\mbox{ae}}\\\end{matrix}}$

Entbehrliche Klammern bei Winkelfunktionen

Ich habe in diesem Beitrag Kotangens einige Klammern bei den Winkelfunktionen entfernt. Ich halte sie in einfachen Fällen für entbehrlich. Z.B. statt

$\sin(x)\,$

ist

$\sin x\,$

ausreichend.

Soweit ich gesehen habe ist diese vereinfachte Schreibweise auch allgemein gebräuchlich. Aber vielleicht gibt es ja auch andere Meinungen (mit guten Argumenten). Bei Wikipedia geht es ziemlich durcheinander. -- Petflo2000 14:53, 14. Okt 2005 (CEST)

Mittelpunktswinkel - Umfangswinkel

Nachweis, dass der Mittelpunktswinkel $\phi$ doppelt so groß wie der Umfangswinkel $\gamma$ ist:

(Siehe Skizze)

Das Dreieck AMC ist ein gleichschenkliges Dreieck (AM=MC=r). Die anliegenden Winkel sind deshalb gleich groß:

$\alpha _{1}=\gamma _{1}\,$

Winkelsumme im Dreieck:

$\alpha _{1}+\gamma _{1}+\delta _{1}=180^{0}\,$

$\delta _{1}=180^{0}-\alpha _{1}-\gamma _{1}=180^{0}-2\gamma _{1}\,$

Winkel der Geraden 180°:

$\delta _{1}+\varphi _{1}=180^{0}\,$

$\varphi _{1}=180^{0}-\delta _{1}\,$

eingesetzt ergibt sich:

$\varphi _{1}=180^{0}-180^{0}+2\gamma _{1}\,$

$\varphi _{1}=2\gamma _{1}\,$

Für das Dreieck BMC gilt dasselbe, so dass analog gilt:

$\varphi _{2}=2\gamma _{2}\,$

und damit:

$\varphi =\varphi _{1}+\varphi _{2}=2\gamma _{1}+2\gamma _{2}=2(\gamma _{1}+\gamma _{2})\,$

$\gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}\,$

$\varphi =2\gamma \,$

Da der Punkt C beliebig auf dem Kreisbogen verschoben werden kann, gilt dieser Nachweis für alle Umfangswinkel. Damit ist auch der Beweis erbracht, dass alle Umfangswinkel über derselben Sehne AB gleich sind.

Weiter lässt sich mit diesem Nachweis auch der Sonderfall Satz des Thales nachweisen: Die Sehne AB liegt dann genau auf dem Durchmesser und damit ist:

$\varphi _{1+}\varphi _{2}=\varphi =180^{0}=2\gamma \,$

$\gamma =90^{0}\,$

Sehnensatz

Der Sehnensatz sagt: Schneiden zwei Sehnen einander in einem Punkt $S$, so ist das Produkt der jeweiligen Sehnenabschnitte gleich. Umgekehrt gilt:

Gilt für die Diagonalen eines Vierecks $ABCD$ (mit dem Diagonalenschnittpunkt $S$):

${\overline {AS}}\cdot {\overline {CS}}={\overline {BS}}\cdot DS$, dann besitzt diese Viereck einen Umkreis!!

Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sehnen die sich in einem Punkt $S$ schneiden. Bezeichnet man die Berührungspunkte des Kreises mit der einen Sehne als $A$ beziehungsweise $C$ und die andere Sehne $B$ beziehungsweise $D$, so gilt:

${\overline {AS}}\cdot {\overline {CS}}={\overline {DS}}\cdot {\overline {BS}}=a\cdot c=d\cdot b$

Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:

${\overline {AS}}:{\overline {DS}}={\overline {BS}}:{\overline {CS}}={a \over d}={b \over c}$

Der Sehnensatz lässt sich - ähnlich wie der Sekantensatz und der Sekanten-Tangenten-Satz – mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen:

Die Dreiecke ${ASD}$ und ${BSC}$ sind ähnlicher Dreiecke, denn:

1) Die Scheitelwinkel in $S$ sind gleich groß $\varphi _{1}=\varphi _{2}$

2) Die Umfangswinkel über einer Sehne sind gleich groß; Sehne ${\overline {AB}}$ ergibt $\gamma _{1}=\delta _{1}\,$ beziehungsweise Sehne ${\overline {CD}}$ ergibt $\alpha _{1}=\beta _{1}\,$

$\Rightarrow ASD\sim BSC$

$\Leftrightarrow H_{2}S:G_{2}S=G_{1}S:H_{1}S$

$\Leftrightarrow H_{2}S\cdot H_{1}S=G_{1}S\cdot G_{2}S$

Sehnensatz

Der Sehnensatz sagt: Schneiden zwei Sehnen einander in einem Punkt $S$, so ist das Produkt der jeweiligen Sehnenabschnitte gleich.

Sehnensatz

Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sehnen die sich in einem Punkt $S$ schneiden. Bezeichnet man die Berührungspunkte des Kreises mit der einen Sehne als $A$ beziehungsweise $C$ und die andere Sehne $B$ beziehungsweise $D$, so gilt:

${\overline {AS}}\cdot {\overline {CS}}={\overline {BS}}\cdot {\overline {DS}}=a\cdot c=b\cdot d$

Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:

${\overline {AS}}:{\overline {DS}}={\overline {BS}}:{\overline {CS}}={a \over d}={b \over c}$

Umgekehrt gilt auch:

Wenn für die Diagonalen eines Vierecks $ABCD$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $S$ gilt:

${\overline {AS}}\cdot {\overline {CS}}={\overline {BS}}\cdot {\overline {DS}}=a\cdot c=b\cdot d$

dann besitzt diese Viereck einen Umkreis!!

Der Sehnensatz lässt sich - ähnlich wie der Sekantensatz und der Sekanten-Tangenten-Satz – mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen:

Die Dreiecke ${ASD}$ und ${BSC}$ sind ähnliche Dreiecke, denn:

1) Die Scheitelwinkel in $S$ sind gleich groß $\varphi _{1}=\varphi _{2}$

2) Die Umfangswinkel über einer Sehne sind gleich groß; Sehne ${\overline {AB}}$ ergibt $\gamma _{1}=\delta _{1}\,$

beziehungsweise Sehne ${\overline {CD}}$ ergibt $\alpha _{1}=\beta _{1}\,$

$\triangle ASD\sim \triangle BSC$

${a \over d}={b \over c}$

$a\cdot c=b\cdot d$