Willmore-Energie

Willmore-Energie ist in der Differentialgeometrie eine Größe, die die Energie von im Raum eingebetteten Flächen misst.

Definition

Für eine glatte Immersion einer kompakten orientierten Fläche $u:\Sigma \rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ mit mittlerer Krümmung $H:\Sigma \rightarrow \mathbb {R}$ definiert man die Willmore-Energie

$W(u)=\int _{\Sigma }H^{2}dA$.

Motivation

Minimalflächen im $\mathbb {R} ^{3}$ sind per Definition Flächen, deren mittlere Krümmung verschwindet: $H\equiv 0$.

Aus dem Maximumprinzip folgt, dass es im $\mathbb {R} ^{3}$ keine kompakten Minimalflächen ohne Rand gibt. Stattdessen sucht man nach geschlossenen Flächen, welche die Willmore-Energie minimieren.

Variante

Gelegentlich wird die Willmore-Energie auch durch

$\int _{\Sigma }H^{2}-KdA$

mit der Gauß-Krümmung $K:\Sigma \rightarrow \mathbb {R}$ definiert.

Weil nach dem Satz von Gauß-Bonnet

$\int _{\Sigma }KdA=2\pi \chi (\Sigma )=4\pi (1-g)$

gilt, unterscheiden sich die beiden Definitionen nur durch eine (von der Topologie der Fläche $\Sigma$ abhängende) Konstante.

Sphären

Eine runde Sphäre von beliebigem Radius $r$ hat Willmore-Energie $W(S^{2}(r))=4\pi$. Eine elementare Anwendung der Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel (zusammen mit dem Satz von Gauss-Bonnet) zeigt, dass für jede andere Sphäre die Willmore-Energie größer als $4\pi$ ist.

Tori

Clifford-Tori haben Willmore-Energie $W(u)=2\pi ^{2}$.

Tom Willmore vermutete 1965, dass für jede Fläche vom Geschlecht $\geq 1$ die Ungleichung

$W(u)\geq 2\pi ^{2}$

gilt. Ein Beweis dieser Vermutung wurde im Februar 2012 von Fernando Codá Marques und André Neves angekündigt.

Literatur

Vortrag von Fernando Codá Marques

Vortrag von Fernando Codá Marques